$e$ sayısı veya ilkeli için bir aralık vermek.

Question

$e$ diye bir sayı var $2$'den büyük ve $3$'den küçük olduğunu biliyoruz;

Biliyoruz ki ,$e$ sayısı bileşik faizden geliyor ve bu faiz faktöründeki zaman değişkeninin tersi 0 a giderken limit $e$  sayısına yakınsıyor ,çünki tanımı bu.

Analiz, eşitsizlik için bir alıştırma olsun diye;

$n>0$ için;

$2\le \left(1+\dfrac1 n\right)^n\le 3$


eşitsizliğini gösterelim.

Comments

ilk esitsizligi gostermek kolay. ipucu: binom. 

---

aynen olay ,3den kücügü göstermek, hatta biraz advance taktiklerle 2.875 den kücük falan da gösterilebilinir

Answer 1

Binom açılımından $\left(1+\dfrac1n\right)^n\ge2$  olduğu aşikar;

$\left(1+\dfrac1n\right)^n\le3$  için;

$\left(1+\dfrac1n\right)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^n\dbinom{n}{i}\dfrac{1}{n^i}=1+1+\displaystyle\sum_{i=2}^n\dbinom{n}{i}\dfrac{1}{n^i}$

$=2+\displaystyle\sum_{i=2}^n\dfrac{n!}{i!(n-1)!}\dfrac{1}{n^i}=2+\displaystyle\sum_{i=2}^n\dfrac{n(n-1)(n-2)...(n-(i-1))}{n^i}\dfrac{1}{i!}$

$\le 2+\displaystyle\sum_{i=2}^n\dfrac{1}{i!}\le 2+\displaystyle\sum_{i=2}^n\dfrac1{2^{i-1}}<2+\displaystyle\sum_{i=1}^\infty=3$

$\Box$