Evrensel üçgen kümesinde, dik üçgenlerin sayısının, eşkenar üçgenlerin sayısına oranı nedir?

Question

$x,y,z\;\in\mathbb R^+$   olsun ve,

Bu $x,y,z$  sayılarını öyle bir seçelim ki ,nasıl seçersek seçelim hep bir üçgen oluştursun;

Bir üçlü sayı kartezyen kümesinin üçgen oluşturma şartına ise $\mathcal T$  diyelim;


Üçgenleri oluşturan $3$'lü kümelere  $\mathcal {D[T]}= \displaystyle\bigcup_{\mathcal (x,y,z)\in T}\;(x,y,z)$   diyelim.

Ve bu $\mathcal{D[T]}$ kümesinden dik üçgen oluşturanlara $\mathcal{D[T_d]}$  , eşkenar üçgen oluşturanlara $\mathcal{D[T_e]}$   diyelim;

Soru 1: Eşgenar üçgenlerin kümesinin sayısı ile Dik üçgenlerin kümesinin sayısını karşılaştırabilir miyiz? Hangi küme daha güçlüdür?

Soru 2:  Oluşturduğumuz  bu  $\mathcal{D[T]}$  kümesi için ;

Evrendeki tüm dik üçgenlerin sayısının , eşgenar üçgenlerin sayısına oranı ne olur? $\dfrac{| \mathcal{D[T_e]} |}{| \mathcal{D[T_d]}|}$

$\dfrac{| \mathcal{D[T_e]} |}{| \mathcal{D[T_d]}|}=\mathscr {I}$ dersek ;

Eğer $\mathscr{I}\le 1$    ise ,$\mathscr{I}$'   için üst sınır (upper bound) verilebilir miydi? Verilebilinirse hangi yöntemlerle? Yöntemlere ,en azından bir göz atmak için , nasıl ulaşabiliriz, bağlantı verir misiniz?


Eşgenar üçgen olması için $(x,y,z)=(x,x,x)=(y,y,y)=(z,z,z)$ gibi olması lazım $x=y=z$;

Ve fonksiyon tanımlasaydık $f:\mathbb R\to \mathbb R^3 \equiv \mathbb R\to \mathbb R$ gibi olacagından ancak dik üçgen için bunu kapsayan daha karmaşık kombinasyonların olduğunu önsezersem dik üçgenler daha fazladır diyorum ama ne üst sınır verebiliyorum ne de oranları belırleyebılıyorum , sanırım 3 boyutlu 3değişkenli kartezyen çarpımı analız edip , kümelerin kardinalitesini karşılaştıracagız.

Answer 1

Burada kardinalite hepsinde aynı (gerçel sayılarla aynı kardinalite) olduğu için çokluğu kıyaslamak için uygun değil. Onun yerine doğal bir kavram "boyut" daha iyi.

Tüm üçgenler $\mathbb{R}^3$ ün $T=\{(x,y,z):x,y,z>0,x+y>z,x+z>y,y+z>x\}$ açık alt kümesine eşlenebilir ama bunlar arasında "aynı" üçgene eşlenenler var örneğin $y\neq z$ iken) $(x,y,z)$ ile $(x,z,y)$ farklı üçlü olup aynı (yani eş) üçgendir. Bu nedenle tüm üçgenleri $T/S_3$ (3 sayının simetrik grubuna göre denklik sınıfları) ile 1-1 eşlemiş oluruz. Bu küme (sınırı olan) bir 3-katlıdır (manifold). Bunu aklımızda tutarsak, $T$  ile işlem yapmak da pek ciddi bir hata olmaz.

Bu "uzay"da eşkenar üçgenler $(x,x,x)$ üçlülerine  karşı gelip bir boyutlu bir alt "uzay" (tüm üçgenler uzayının bir kenarı) oluştururlar. Dik üçgenler ise $(x,y,\sqrt{x^2+y^2}) $ (ve bunların permütasyonları) koşulunu sağlayan noktalardır, dolayısıyla 2 boyutlu bir alt "uzay" oluştururlar. İkizkenar üçgenler ise $(x,x,z)$ (ve permütasyonları) şeklindeki noktalara karşı gelir, bu da 2 boyutlu bir "alt uzay" olur. (İkizkenar üçgenler de tüm üçgenler uzayının bir yüzünü oluşturur)

Dik üçgenler, eşkenar üçgenlerden (daha büyük boyutlu olduğu için) çok fazladır. İkizkenar ve dik üçgenler aynı boyuttadır. Fakat "çeşitkenar" üçgenler, 3 boyutlu olduğu için, en çokturlar onlar "her yerde" dir (açık ve yoğun bir alt kümedirlar)