Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
493 kez görüntülendi

Şöyle düşündüm ifadeyi 99! olarak yazdım ve 99! içindeki 2 , 4 , 6 , 8 çarpanından kaç tane olduğunu ve bu çift sayların 99! böldüğümde bir şeyler elde edeceğimi düşündüm ama bence çok uzattım farklı kısa bir yolu varmıdır

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (2.1k puan) tarafından  | 493 kez görüntülendi

$3$ ün tek katları çarpılıyor; $(3.1)(3.3).(3.5)...(3.33)$. Buradan bir şeyler düşünebilir miyiz?

hocam aradaki sayılar peki ? 

3 un kati olan tek sayilari kullaniyoruz. Diger carpanlarda 3 carpani yok.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
Bu sayilarin icerisinde $3$ carpani icerenler $6k+3$ cinsinden olur. 

$3$'e tam bolunen ($6$ ardil) $$\frac{99-3}{6}+1=17$$ sayi. $9$'a tam bolunen ($18$ ardil)$$\frac{99-9}{18}+1=6$$ sayi ve $27$'ye tam bolunen ($54$ ardil) $$\frac{81-27}{54}+1=2$$ ve $81$'e bolunen ($162$ ardil) $$\frac{81-81}{162}+1=1$$ sayi var.

Simdi bunu formulize edersek (bu sorudaki gibi) toplamimiz, yani $$1\cdot 3\cdots (2n+1)$$ icersindeki $3$ carpani sayisi $$k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {2n+1-3^m}{2\cdot3^m} \bigg\rfloor=k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {2n+1}{2\cdot3^m}-\frac12 \bigg\rfloor$$ olur (burada $k$ dedigimiz $3^k \le 2n+1 <3^{k+1}$ sartini saglayan ilk tam sayi).

$p\ne2$ asal sayisi icin $$1\cdot 3\cdots (2n+1)$$ icersindeki $p$ carpani sayisi $$k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {2n+1-p^m}{2\cdot p^m} \bigg\rfloor=k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {2n+1}{2\cdot p^m}-\frac12 \bigg\rfloor$$ olur (burada $k$ dedigimiz $p^k \le 2n+1 <p^{k+1}$ sartini saglayan ilk tam sayi).

$l$ baska bir asal sayi olsun. ($p\ne l$). $$1\cdot(1+l)\cdots (1+n\cdot l)$$carpimi icerisndeki $p$ carpani sayisi $$k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {l\cdot n+1-p^m}{l\cdot p^m} \bigg\rfloor=k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {l\cdot n+1}{l\cdot p^m}-\frac1l \bigg\rfloor$$ olur (burada $k$ dedigimiz $p^k \le l\cdot n+1 <p^{k+1}$ sartini saglayan ilk tam sayi).

$l$ asal degil de $p$ ile aralarinda asal olsa bile yukaridaki esitlik yine saglanir: $$1\cdot(1+l)\cdots (1+n\cdot l)$$carpimi icerisndeki $p$ carpani sayisi $$k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {l\cdot n+1-p^m}{l\cdot p^m} \bigg\rfloor=k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {l\cdot n+1}{l\cdot p^m}-\frac1l \bigg\rfloor$$ olur (burada $k$ dedigimiz $p^k \le l\cdot n+1 <p^{k+1}$ sartini saglayan ilk tam sayi).
(24.3k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Hocam bir de sizin şu sorunuzun ispatı nasıl olacak ?

http://matkafasi.com/96871/%24n-p-mk%24-ise-%24m%24-en-cok-kac-olabilir-ikinci-esitlik 

ilkinden yararlanarak ispatlayabiliriz. 

0 beğenilme 0 beğenilmeme

İfadeyi

$1.2.3.....99.100 / 2.4.6....100 = 100!/2k.50!$ olacaktır. Buna göre. $100!$ ifadesinin içinde $33+11+3+1 = 48$ tane 3 çarpanı ve $50!$ sayısının içinde $16+5+1 = 22$ tane 3 çarpanı vardır. Buna göre $x$ en fazla $48-22 = 26$ olabilir.

(869 puan) tarafından 

Aslında buradaki olayı pek anlayamadım benim düşündüğüm gibi biraz benziyor ama

Hepsinden ciftlerin icindeki 3 carpani sayisini cikartmis.

18,117 soru
20,681 cevap
66,525 yorum
18,789 kullanıcı