Kombinasyon sorum.$C(30,0)+C(30,2)+C(30,4)+...C(30,30)=?$

Question

Bu ifade için bir özdeşlik mi var yoksa C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...C(n,n)=$2^n$ bu özdeşlikten mi yararlanarak mı bulabiliriz?

Comments

Ne denediniz sayın alex, soru sorarken kurallar yazıyor , lütfen dikkat ediniz.

---

C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...C(n,n)=$2^n$ eşitliğini kullandım ama bu sefer de C(30,1)+C(30,3)+C(30,5)+...+C(30,29)'u bilmediğimiz için yine çözemedim.

---

Soru, toplamın sonucunu istiyorsa zaten siz neye eşit olduğunu($2^{30})$ bulmuşsunuz. Yoksa soru, $C(30,0)+C(30,1)+C(30,2)+...+C(30,29)$ toplamını mı soruyor?

---

Hocam sadece çiftler var soruda o yüzden bulamadım.

---

Benim dikkatimden kaçmış.Doğru  sadece çiftlerin toplamı isteniyor. Çözümü cevap kısmına yazacağım.

Answer 1

$n\in N$ olmak üzere,  $(1+x)^n=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}.x+\binom{n}{2}.x^2+...+\binom{n}{n}.x^n$ olduğunu biliyoruz. 

Burada $x=1$ yazılırsa,

$2^n=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n}...............(1)$ elde edilir. Eğer $n$ çift kabul edelir ve İlk eşitlikte $x=-1$ yazılırsa,

$0=\binom{n}{0}-\binom{n}{1}+\binom{n}{2}-...+\binom{n}{n}...............(2)$ elde edilir.  $(1) ve (2)$  'nin taraf tarafa toplamından,

$2^n=2(\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+...+\binom{n}{n})$

ve burada da $2^{n-1}=\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+...+\binom{n}{n}$ olur.  Soruda $n=30$ olduğundan istenen toplam:$2^{29}$ dır.

Comments

Çok teşekkür ederim hocam bir de tekler sorulmuş yani C(30,1)+C(30,3)+...+C(30,29) şeklinde bunda da sizin bulmuş olduğunuz ikinci denklemi  eksiyle çarpıp toplayacağız değil mi hocam?

---

Tamamı belli, çiftler toplamı da. Tamamında çiftler toplamını çıkarırsan olur.

Answer 2

$n\ge 1$ tam sayi olsun. Elimizde $$(1+x)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}x^i$$ve$$(1-x)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}(-1)^ix^i$$ esitlikleri var. $x=1$ degeri icin ilki $$2^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}$$ ve ikincisi $$0=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}(-1)^i$$olur.  Bu ikisini toplarsak cift tabanlilarin toplaminin iki katini cikartirsak tek tabanlilarin iki katini elde ederiz. Kisacasi her iki durumda da sonuc $2^{n-1}$ olur.