Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
1.4k kez görüntülendi

Bu ifade için bir özdeşlik mi var yoksa C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...C(n,n)=$2^n$ bu özdeşlikten mi yararlanarak mı bulabiliriz?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (70 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.4k kez görüntülendi

Ne denediniz sayın alex, soru sorarken kurallar yazıyor , lütfen dikkat ediniz.

C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...C(n,n)=$2^n$ eşitliğini kullandım ama bu sefer de C(30,1)+C(30,3)+C(30,5)+...+C(30,29)'u bilmediğimiz için yine çözemedim.

Soru, toplamın sonucunu istiyorsa zaten siz neye eşit olduğunu($2^{30})$ bulmuşsunuz. Yoksa soru, $C(30,0)+C(30,1)+C(30,2)+...+C(30,29)$ toplamını mı soruyor?

Hocam sadece çiftler var soruda o yüzden bulamadım.

Benim dikkatimden kaçmış.Doğru  sadece çiftlerin toplamı isteniyor. Çözümü cevap kısmına yazacağım.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$n\in N$ olmak üzere,  $(1+x)^n=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}.x+\binom{n}{2}.x^2+...+\binom{n}{n}.x^n$ olduğunu biliyoruz. 

Burada $x=1$ yazılırsa,

$2^n=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n}...............(1)$ elde edilir. Eğer $n$ çift kabul edelir ve İlk eşitlikte $x=-1$ yazılırsa,

$0=\binom{n}{0}-\binom{n}{1}+\binom{n}{2}-...+\binom{n}{n}...............(2)$ elde edilir.  $(1) ve (2)$  'nin taraf tarafa toplamından,

$2^n=2(\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+...+\binom{n}{n})$

ve burada da $2^{n-1}=\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+...+\binom{n}{n}$ olur.  Soruda $n=30$ olduğundan istenen toplam:$2^{29}$ dır.

(19.2k puan) tarafından 

Çok teşekkür ederim hocam bir de tekler sorulmuş yani C(30,1)+C(30,3)+...+C(30,29) şeklinde bunda da sizin bulmuş olduğunuz ikinci denklemi  eksiyle çarpıp toplayacağız değil mi hocam?

Tamamı belli, çiftler toplamı da. Tamamında çiftler toplamını çıkarırsan olur.

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$n\ge 1$ tam sayi olsun. Elimizde $$(1+x)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}x^i$$ve$$(1-x)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}(-1)^ix^i$$ esitlikleri var. $x=1$ degeri icin ilki $$2^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}$$ ve ikincisi $$0=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}(-1)^i$$olur.  Bu ikisini toplarsak cift tabanlilarin toplaminin iki katini cikartirsak tek tabanlilarin iki katini elde ederiz. Kisacasi her iki durumda da sonuc $2^{n-1}$ olur.

(24.6k puan) tarafından 
19,197 soru
21,073 cevap
70,145 yorum
23,731 kullanıcı