$g\left[\lim\limits_{x\to A}f(x)\right]=\lim\limits_{x\to A}g\left[f(x)\right]$
Bir yerde bir soru gördüm soru yukardaki eşitliğin her zaman sağlanıp sağlanmadığını soruyordu.
Elimde analiz kitabı var ve buna benzer teorem ve ispatı var ispat aynen aşşağıdaki gibi, ancak sorum şu, aşşağıdaki teorem ve ispatını yukardakine aynen uygulayabilir miyim?
$-------------------$
$\lim\limits_{x\to a}g(x)=b$ ve $\lim\limits_{t\to b}f(t)=L$ olsun;
$\lim\limits_{t\to b}f(t)=b$ 'yi $\lim\limits_{t\to b}f(t)=f\left(\lim\limits_{x\to a}g(x)\right)$
gibi yazabiliyor muyuz.
$-------------------$
Teorem(limitler için değişken değiştirme teoremi):
$a,b,L\in \mathbb R,\; g; x\neq a$ için $g(x)\neq b$ şeklinde bir fonksiyon,
$\lim\limits_{x\to a}g(x)=b$ ve $\lim\limits_{t\to b}f(t)=L$ olsunlar.
O zaman $\lim\limits_{x\to a}f\left(g(x)\right)=L$ olur.
Bahsi mevzu teoremin İSPAT'ı:
$\epsilon>0$ verilsin. $\lim\limits_{x\to b}f(t)=L$ olduğundan
$0<|t-b|<\gamma$ ve $x\in D_f$ iken $|f(t)-L|<\epsilon$ $(\star)$
olacak şekilde bir $\gamma (>0)$ sayısı vardır.
$\lim\limits_{x\to a}g(x)=b$ olduğundan
$0<|x-a|<\delta$ ve $x\in D_g$ iken $|g(x)-b|<\gamma$ olacak şekilde bir $\delta(>0)$ sayısı vardır.
O zaman,
$0<|x-a|<\delta$ ve $t\in D_f$ iken $|f(g(x))-L|<\epsilon$ olduğunu gösterelim.
$0<|x-a|<\delta$ ve $x\in D_f$ olsun. $|g(x)-b|<\gamma$ ve $g(x)\neq b$ olduğundan;
$0<|g(x)-b|<\gamma$ olur. Bu nedenle, $(\star)$ dan dolayı,$|f(g(x))-L|<\epsilon$ olur.