Sorunun birinci kismi burada.
V bir F-vektor uzayi olsun. F cismi ya R ya da C.
Birinci kismin sonunda su sonuc elde edilmisti: Normal operatorler kosegenlestirilebilir. Bu sorunun amaci da bu kosegenlestirmede ortonormal bir baz kullanilabilecegini gostermek. Baska bir deyisle uniter bicimde kosegenlestirme yapilabilir.
Kullanacagimiz kavramlari animsayalim:
a- τ normal bir operator, yani eslegiyle degismeli bir operator. Normal operatorlerin tanim ve temel ozellikleri burada ve biraz daha fazlasi burada.
b- V'nin τ endomorfizmasina bagli olarak tanimlanan F[X]-modulunu Vτ ile gosteriyoruz. Bu modulun tanimi ve en basit ozellikleri burada. S ve T de Vτ'in birer alt-modulu olsunlar.
1- Ann(Vτ)⊆F[X]'nin sifir olmadigini kullanarak Ann(S) ve Ann(T) ideallerinin de sifirdan farkli oldugunu gosterin. Bu ideallerin monik ureteclerine sirasiyla s(X) ve t(X) diyelim.
2- s(X) ve t(X) arasinda asal ise Cinli kalan teoremi geregi h(X)s(X)+g(X)t(X)=1∈F[X]sartini saglayan h,g∈F[X] polinomlarinin varligini gosteriniz.
3- t(X)'in T'yi sifirlamas her v∈T icin t(τ)(v)=0 oluyor demek. O halde t(X)g(X) de T'yi sifirlar cunku her v∈T icin g(X)t(X)⋅v=g(τ)[t(τ)(v)]=g(τ)(0)=0. Yani T⊆kerg(τ)t(τ). Ama τ normal bir operator. O halde onu polinomlara sokarak elde edilen operatorler de normal. Bu durumda g(τ)t(τ) operatoru normal demek. O halde yukarida linki verilen ilgili soruda gosterildigi gibi (g(τ)t(τ))∗ da normal ve bu iki operatorun cekirdekleri birbirine esit. Buradan (g(τ)t(τ))∗ endomorfizmasinin T'yi sifirladigi sonucunu cikartin.
Burdan itibaren s ve t'nin aralarinda asal oldugunu varsayacagiz.
4- 1∈F[X]'in F[X]-etkisiyle Vτ uzerinde tanimladigi endomorfizmanin birim oldugunu gostererek ve bunu son sorudaki esitlikte kullanarak s(τ)h(τ)+t(τ)g(τ)=idVoldugunu gosterin.
5- A:=s(τ)h(τ) ve B:=t(τ)g(τ) diyelim. <S,T>=<(A+B)S,T>esitligini S'nin A tarafindan T'nin de B∗ tarafindan olduruldugunu kullanarak <S,T>=<S,B∗T>=0sonucunu bulun ve S ve T'nin sifirlayicilarinin sifir olmasi durumunda S ve T'nin birbirlerine dik oldugu sonucunu cikartin.
6- Besinci soruyu ve alt-modullerle ilgili sorunun ikinci ve ucuncu sorularini kullanarak τ'nun birbirinden farkli ozdeger altuzaylarinin birbirine dik oldugunu gosterin.
7- Butun bunlari birlestirerek normal bir operatorun orthonormal bir baz kullanilarak kosegenlestirilebilecegini gosterin.