Normal operatorlerin minimal polinomlari ve kosegenlestirilebilir olmalari-2

1 beğenilme 0 beğenilmeme
34 kez görüntülendi

Sorunun birinci kismi burada


$V$ bir $F$-vektor uzayi olsun. $F$ cismi ya $\mathbb{R}$ ya da $\mathbb{C}$.


Birinci kismin sonunda su sonuc elde edilmisti: Normal operatorler kosegenlestirilebilir. Bu sorunun amaci da bu kosegenlestirmede ortonormal bir baz kullanilabilecegini gostermek. Baska bir deyisle uniter bicimde kosegenlestirme yapilabilir.

Kullanacagimiz kavramlari animsayalim: 

a- $\tau$ normal bir operator, yani eslegiyle degismeli bir operator. Normal operatorlerin tanim ve temel ozellikleri burada ve biraz daha fazlasi burada.

b- $V$'nin $\tau$ endomorfizmasina bagli olarak tanimlanan $F[X]$-modulunu $V_{\tau}$ ile gosteriyoruz. Bu modulun tanimi ve en basit ozellikleri burada. $S$ ve $T$ de $V_{\tau}$'in birer alt-modulu olsunlar. 

1-  $Ann(V_{\tau})\subseteq F[X]$'nin sifir olmadigini kullanarak $Ann(S)$ ve $Ann(T)$ ideallerinin de sifirdan farkli oldugunu gosterin. Bu ideallerin monik ureteclerine sirasiyla $s(X)$ ve $t(X)$ diyelim.

2- $s(X)$ ve $t(X)$ arasinda asal ise Cinli kalan teoremi geregi $$h(X)s(X)+g(X)t(X)=1\in F[X]$$sartini saglayan $h,g\in F[X]$ polinomlarinin varligini gosteriniz.

3- $t(X)$'in $T$'yi sifirlamas her $v\in T$ icin $t(\tau)(v)=0$ oluyor demek. O halde $t(X)g(X)$ de $T$'yi sifirlar cunku her $v\in T$ icin $g(X)t(X)\cdot v=g(\tau)[t(\tau)(v)]=g(\tau)(0)=0$. Yani $T\subseteq \ker g(\tau)t(\tau)$. Ama $\tau$ normal bir operator. O halde onu polinomlara sokarak elde edilen operatorler de normal. Bu durumda $g(\tau)t(\tau)$ operatoru normal demek. O halde yukarida linki verilen ilgili soruda gosterildigi gibi $(g(\tau)t(\tau))^*$ da normal ve bu iki operatorun cekirdekleri birbirine esit. Buradan $(g(\tau)t(\tau))^*$ endomorfizmasinin $T$'yi sifirladigi sonucunu cikartin. 

Burdan itibaren $s$ ve $t$'nin aralarinda asal oldugunu varsayacagiz.

4- $1\in F[X]$'in $F[X]$-etkisiyle $V_{\tau}$ uzerinde tanimladigi endomorfizmanin birim oldugunu gostererek ve bunu son sorudaki esitlikte kullanarak $$s(\tau)h(\tau)+t(\tau)g(\tau)=id_V$$oldugunu gosterin.

5- $A:=s(\tau)h(\tau)$ ve $B:=t(\tau)g(\tau)$ diyelim. $$<S,T>=<(A+B)S,T>$$esitligini $S$'nin $A$ tarafindan $T$'nin de $B^*$ tarafindan olduruldugunu kullanarak $$<S,T>=<S,B^*T>=0$$sonucunu bulun ve $S$ ve $T$'nin sifirlayicilarinin sifir olmasi durumunda $S$ ve $T$'nin birbirlerine dik oldugu sonucunu cikartin.

6- Besinci soruyu ve alt-modullerle ilgili sorunun ikinci ve ucuncu sorularini kullanarak $\tau$'nun birbirinden farkli ozdeger altuzaylarinin birbirine dik oldugunu gosterin.

7- Butun bunlari birlestirerek normal bir operatorun orthonormal bir baz kullanilarak kosegenlestirilebilecegini gosterin.

24, Eylül, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,393 puan) tarafından  soruldu
...