Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
456 kez görüntülendi

Sorunun birinci kismi burada


V bir F-vektor uzayi olsun. F cismi ya R ya da C.


Birinci kismin sonunda su sonuc elde edilmisti: Normal operatorler kosegenlestirilebilir. Bu sorunun amaci da bu kosegenlestirmede ortonormal bir baz kullanilabilecegini gostermek. Baska bir deyisle uniter bicimde kosegenlestirme yapilabilir.

Kullanacagimiz kavramlari animsayalim: 

a- τ normal bir operator, yani eslegiyle degismeli bir operator. Normal operatorlerin tanim ve temel ozellikleri burada ve biraz daha fazlasi burada.

b- V'nin τ endomorfizmasina bagli olarak tanimlanan F[X]-modulunu Vτ ile gosteriyoruz. Bu modulun tanimi ve en basit ozellikleri burada. S ve T de Vτ'in birer alt-modulu olsunlar. 

1-  Ann(Vτ)F[X]'nin sifir olmadigini kullanarak Ann(S) ve Ann(T) ideallerinin de sifirdan farkli oldugunu gosterin. Bu ideallerin monik ureteclerine sirasiyla s(X) ve t(X) diyelim.

2- s(X) ve t(X) arasinda asal ise Cinli kalan teoremi geregi h(X)s(X)+g(X)t(X)=1F[X]sartini saglayan h,gF[X] polinomlarinin varligini gosteriniz.

3- t(X)'in T'yi sifirlamas her vT icin t(τ)(v)=0 oluyor demek. O halde t(X)g(X) de T'yi sifirlar cunku her vT icin g(X)t(X)v=g(τ)[t(τ)(v)]=g(τ)(0)=0. Yani Tkerg(τ)t(τ). Ama τ normal bir operator. O halde onu polinomlara sokarak elde edilen operatorler de normal. Bu durumda g(τ)t(τ) operatoru normal demek. O halde yukarida linki verilen ilgili soruda gosterildigi gibi (g(τ)t(τ)) da normal ve bu iki operatorun cekirdekleri birbirine esit. Buradan (g(τ)t(τ)) endomorfizmasinin T'yi sifirladigi sonucunu cikartin. 

Burdan itibaren s ve t'nin aralarinda asal oldugunu varsayacagiz.

4- 1F[X]'in F[X]-etkisiyle Vτ uzerinde tanimladigi endomorfizmanin birim oldugunu gostererek ve bunu son sorudaki esitlikte kullanarak s(τ)h(τ)+t(τ)g(τ)=idVoldugunu gosterin.

5- A:=s(τ)h(τ) ve B:=t(τ)g(τ) diyelim. <S,T>=<(A+B)S,T>esitligini S'nin A tarafindan T'nin de B tarafindan olduruldugunu kullanarak <S,T>=<S,BT>=0sonucunu bulun ve S ve T'nin sifirlayicilarinin sifir olmasi durumunda S ve T'nin birbirlerine dik oldugu sonucunu cikartin.

6- Besinci soruyu ve alt-modullerle ilgili sorunun ikinci ve ucuncu sorularini kullanarak τ'nun birbirinden farkli ozdeger altuzaylarinin birbirine dik oldugunu gosterin.

7- Butun bunlari birlestirerek normal bir operatorun orthonormal bir baz kullanilarak kosegenlestirilebilecegini gosterin.

Lisans Matematik kategorisinde (3.7k puan) tarafından  | 456 kez görüntülendi
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,853 kullanıcı