Normal operatorlerin minimal polinomlari ve kosegenlestirilebilir olmalari

1 beğenilme 0 beğenilmeme
55 kez görüntülendi

Gerekli onbilgiler icin suradaki soruya bakabilirsiniz.

$\tau\in End(V)$ normal bir operator olsun. $m_{\tau}=m$ ile $\tau$'nin minimal polinomu $p$ de $m$'nin indirgenemez monik bir carpani olsun. Diyelim ki $$m=p^kg$$ biciminde bir carpimimiz var.

1- Minimal polinomun tanimini kullanarak $$p^k(\tau)g(\tau)$$ operatorunun sifir operatoru oldugunu gosterin. Yani her $v\in V$ icin $$p^k(\tau)[g(\tau)(v)]=0$$oldugunu gosterin.

2- $p^k(\tau)=p(\tau)[p(\tau)[\cdots[p(\tau)]]\cdots]$ operatorunun normal olmasi nedeniyle $\ker(p^k(\tau))=\ker(p(\tau))$ oldugunu gozlemleyin ve bu gozlem sayesinde bir onceki kisimda buldugumuz esitlikteki $k$'dan kurtularak $$p(\tau)[g(\tau)(v)]$$ esitliginin her $v\in V$ icin saglandigini gosterin.

3- Ikinci sorudaki iddiadan $\tau$ operatorunun $p\cdot g$ polinomu tarafindan olduruldugu sonucunu cikartin. $p\cdot g$ polinomunun derecesiyle $p^k\cdot g=m$ polinomunun derecesini karsilastirarak ve minimal polinomun $\tau$'yi olduren en kucuk dereceli polinom olmasini kullanarak $k=1$ sonucunu cikartin.

4- Ilk uc sorudan cikan sonucu dile getirin: Normal operatorlerin indirgenemez carpanlarinin exponenti birdir.

5- Kosegenlestirmenin temel teoremi der ki, bir matrisin kosegenlestirilebilmesi minimal polinomunun birinci dereceden carpanlara ayrilmasi ve bu carpanlarin tekrarlanmamasina denktir. Bu teoremi ve dorduncu kismi kullanarak sunu gosterin: Normal matrisler karmasik sayilar uzerinde kosegenlestirilebilir.

24, Eylül, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,408 puan) tarafından  soruldu
24, Eylül, 2015 Safak Ozden tarafından düzenlendi
...