Gerekli onbilgiler icin suradaki soruya bakabilirsiniz.
τ∈End(V) normal bir operator olsun. mτ=m ile τ'nin minimal polinomu p de m'nin indirgenemez monik bir carpani olsun. Diyelim ki m=pkg biciminde bir carpimimiz var.
1- Minimal polinomun tanimini kullanarak pk(τ)g(τ) operatorunun sifir operatoru oldugunu gosterin. Yani her v∈V icin pk(τ)[g(τ)(v)]=0oldugunu gosterin.
2- pk(τ)=p(τ)[p(τ)[⋯[p(τ)]]⋯] operatorunun normal olmasi nedeniyle ker(pk(τ))=ker(p(τ)) oldugunu gozlemleyin ve bu gozlem sayesinde bir onceki kisimda buldugumuz esitlikteki k'dan kurtularak p(τ)[g(τ)(v)] esitliginin her v∈V icin saglandigini gosterin.
3- Ikinci sorudaki iddiadan τ operatorunun p⋅g polinomu tarafindan olduruldugu sonucunu cikartin. p⋅g polinomunun derecesiyle pk⋅g=m polinomunun derecesini karsilastirarak ve minimal polinomun τ'yi olduren en kucuk dereceli polinom olmasini kullanarak k=1 sonucunu cikartin.
4- Ilk uc sorudan cikan sonucu dile getirin: Normal operatorlerin indirgenemez carpanlarinin exponenti birdir.
5- Kosegenlestirmenin temel teoremi der ki, bir matrisin kosegenlestirilebilmesi minimal polinomunun birinci dereceden carpanlara ayrilmasi ve bu carpanlarin tekrarlanmamasina denktir. Bu teoremi ve dorduncu kismi kullanarak sunu gosterin: Normal matrisler karmasik sayilar uzerinde kosegenlestirilebilir.