Gerekli tanimlar ve onlardan dogrudan cikan bazi sonuclar icin buraya bakarlar.
τ normal bir operator olsun.
1- Her v,w∈V icin <τ(v),τ(w)>=<τ∗(v),τ∗(w)> esitligini <τ∗τ(v),w> ve <ττ∗(v),w> ic carpimlarini inceleyerek ve τ ile τ∗ operatorlerinin degismeli olduklarini kullanarak ispatlayin.
2- Birinci kisimdan ||τ(v)||=||τ∗(v)|| esitligini de elde edin.
3- Ikinci kisimdan ker(τ∗)=ker(τ) esitligini elde edin. (Ipucu: Ikinci kisim diyor ki, birine gore goruntunun normu sifirsa digerine gore goruntunun de normu sifirdir.)
4- τ normal olsa da olmasa da τ∗τ operatorunun esleginin kendisi oldugunu gosterin ve dogal olarak σ=τ∗τ operatorunun normal oldugunu gosterin.
5- σ eslegi kendisi olan bir operator olsun. Bu durumda her k>0 tamsayisi icin ker(σk)=ker(σ) esitliginin dogru oldugunu gosterin. Bunun icin σk(v)=0 olmasinin her w∈V icin <σk−1(v),σ(w)>=<σk(v),w>=0sonucunu dogru olmasini zorlamasini kullanin. Bu zorlama eger σ(w) her w icin sifir degilse (baska bir deyisle σ=0 degilse, yani iddianin asikar oldugu durum degilse) σk−1(v)'nin sifir olmasini gormenizi saglamali.
6- τ normal bir operatorse ker(τk)=ker(τ) esitliginin saglandigini gosterin. ipucu: τk(v)=0 esitligini saglayan v icin τ ile τ∗'nin degismeli olmasini kullanarak σk(v)=0 oldugunu gosterin. Besinci soruyu kullanarak da σ(v)=0 oldugunu gosterin. Buradan da 0=<σ(v),v>=<τ∗τ(v),v> esitligini kullanarak τ(v)=0 esitligini elde edin.