Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
743 kez görüntülendi

Gerekli tanimlar ve onlardan dogrudan cikan bazi sonuclar icin buraya bakarlar.

τ normal bir operator olsun.

1- Her v,wV icin  <τ(v),τ(w)>=<τ(v),τ(w)> esitligini <ττ(v),w> ve <ττ(v),w> ic carpimlarini inceleyerek ve τ ile τ operatorlerinin degismeli olduklarini kullanarak ispatlayin.

2- Birinci kisimdan ||τ(v)||=||τ(v)|| esitligini de elde edin.

3- Ikinci kisimdan ker(τ)=ker(τ) esitligini elde edin. (Ipucu: Ikinci kisim diyor ki, birine gore goruntunun normu sifirsa digerine gore goruntunun de normu sifirdir.)

4- τ normal olsa da olmasa da ττ operatorunun esleginin kendisi oldugunu gosterin ve dogal olarak σ=ττ operatorunun normal oldugunu gosterin.

5- σ eslegi kendisi olan bir operator olsun. Bu durumda her k>0 tamsayisi icin ker(σk)=ker(σ) esitliginin dogru oldugunu gosterin. Bunun icin σk(v)=0 olmasinin her wV icin <σk1(v),σ(w)>=<σk(v),w>=0sonucunu dogru olmasini zorlamasini kullanin. Bu zorlama eger σ(w) her w icin sifir degilse (baska bir deyisle σ=0 degilse, yani iddianin asikar oldugu durum degilse) σk1(v)'nin sifir olmasini gormenizi saglamali.

6- τ normal bir operatorse ker(τk)=ker(τ) esitliginin saglandigini gosterin. ipucu: τk(v)=0 esitligini saglayan v icin τ ile τ'nin degismeli olmasini kullanarak σk(v)=0 oldugunu gosterin. Besinci soruyu kullanarak da σ(v)=0 oldugunu gosterin. Buradan da 0=<σ(v),v>=<ττ(v),v> esitligini kullanarak τ(v)=0 esitligini elde edin.

Lisans Matematik kategorisinde (3.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 743 kez görüntülendi
6) yı anlamadım. σ ve τ arasındaki ilişki nedir? σ=ττ mu alacağız?

Evet, onu alarak gosterilcek. Altinci soru besinci sorunun genel hali. 

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Her v,wV için;

1) <τv,τw>=<v,τ(τw)>=¯<τ(τw),v>=¯<(ττ)w,v> ve
ττ=ττ olduğundan ¯<(ττ)w,v>=¯<τ(τw),v>=¯<τw,τv>=<τv,τw> elde edilir.

2) τv2=<τv,τv> ve (1) den <τv,τv>=τv2.

3) τv=0τv=0 ve (2) den τv=0τv=0.

4) (ττ)=τ(τ)=ττ (Her zaman var, yani τ normal olmasa da).
σ=ττ ise σ=σ olduğundan σσ=σσ=σ2 yani σ normaldir.

5) σ=σ olsun. Bu durumda v,wV için <σv,w>=<v,σw> eşitliği vardır.
İspatı tümevarımla yapalım. k=2 için σ2v=0 olsun. σ(σv)=0 ve her wV için <σ(σv),w>=<0,w>=<σv,σw>=0 bulunur. Özel olarak w=v alındığında <σv,σv>=0 ve σ0 ise σv=0 yani vKer(σ) elde edilir. Diğer taraf yani Ker(σ)2Ker(σ) her zaman vardır.

k=n için ifade doğru olsun. Yani; Ker(σn)=Ker(σ) sağlansın. k=n+1 için ifade doğru mudur?
σn+1v=0 olsun. Yani; σ(σnv)=0. Buradan her wV için 0=<σ(σnv),σn1w>=<σnv,σnw>=0.
Özel olarak w=vV için <σnv,σnv>=0 yani σnv=0 ve σ0 olduğundan vKer(σn)=Ker(σ) (k=n için doğru kabul etmiştik) ve vKer(σ) yani; Ker(σn+1)Ker(σ) elde edilir. Yine Ker(σ)Ker(σn+1) olduğundan k=n+1 için ifadenin doğruluğu elde edilmiş olur.



(1.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

τk(v)=0 olsun ve σ:=ττ olsun. Bu durumda σk(v):=(ττ)k(v)=(τ)k(τk)(v)=0 olur. Sondan bir onceki esitlik icin τ'nun normal olmasini, yani eslegiyle degismeli oldugunu kullandik. Besinci soruyu kullanarak σ(v)=0 bulunur. Buradan da 0=<σ(v),v>=<ττ(v),v>=<τ(v),τ(v)>=||τ(v)||2 sonucu cikar ki, bu da τ(v)=0 demektir.

Yazıvermişsin hemen cevabı.
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,830 kullanıcı