V uzerinde bir iccarpim olan sonlu boyutlu bir vektor uzayi olsun. Bu iccarpimi da
<⋅,⋅> ile gosterelim.
1- V'nin verilmis ic carpima gore orthonormal (birbirlerine dik ve boylari 1) bir bazi oldugunu gosterin.
e1,⋯,en birinci soru sayesinde varligini bildigimiz orthonormal bazlardan bir tanesi olsun. Bir tane f∈End(V) alalim. Amiyane tabirle V'den V'ye giden lineer bir operator alalim. Aldigimiz baza gore f'nin matrisine Mf ya da daha sade olarak M diyelim. Simdi matrisler icin eslegin ne oldugunu biliyoruz: M∗=¯MTYani devriginin elemanlarinin eslenikleriniyle degistirilmis matris. Bir de operatorlerin esleklik kavrami var: Her v,w∈V icin <f(v),w>=<v,f∗(w)> olursa f∗'e f'in eslegi diyoruz. Peki bu tanimlar arasinda nasil bir iliski var?
2- En son yazilan iliskinin baz uzerinden okunabilecegini gosterin. Yani, eger <f(ei),ej>=<ei,g(ej)>esitligi her i,j icin saglaniyorsa her v,w icin de saglanir.
3- Ikinci soruyu kullanarak f∗ operatorunun e1,⋯,en bazina gore matrisinin M∗=¯MToldugunu gosteriniz.