$(V<\cdot,\cdot>)$ sonlu boyutlu bir ic-carpim uzayi $\tau$ de $End(V)$'nin bir elemani olsun. Riesz temsil edilme teoremi sunu der. $$<\tau(v),w>=<v,\sigma(w)>\;\forall v,w\in V$$sartini saglayan bir tane $\sigma\in End(V)$ vardir ve bu $\sigma$ biriciktir. Yukaridaki esitligi saglayan $\tau$ ile $\sigma$'ye birbirlerinin eslegi denir ve $\sigma$ yerine $\tau^*$ yazilir.
1- $(\tau^*)^*=\tau$ esitligini kanitlayin.
2- $\alpha$ bir skalar ise $(\alpha \tau)^*=\overline{\alpha}\tau^*$ esitliginin dogru oldugunu gosterin.
3- $(\tau+\sigma)^*=\tau^*+\sigma^*$ oldugunu gosterin.
4- Ikinci ve ucuncu kismi kullanarak her $p(X)\in\mathbb{R}[X]$ icin $$(p(\tau))^*=p(\tau^*)$$ esitliginin saglandigini gosterin.
5- $(\tau\sigma)^*=\sigma^*\tau^*$ esitliginin her $\tau,\sigma\in End(V)$ icin dogru oldugunu gosterin. Burada $f\tau\sigma$ ile kast edilen bileskeleri elbette.
6- Bir onceki sikki kullanarak tersinir $\tau$ operatoru icin $$(\tau^{-1})^*=(\tau^*)^{-1}$$ esitliginin dogru olacagini gosterin.
7- Bir matrisin tanimladigi lineer fonksiyonun eslegiyle matrisin eslegi arasindaki iliski nedir?
Eger bir $\tau$ operatoru eslegi olan $\tau^*$ operatoruyle degismeliyse $\tau$ operatorune normal denir.
7- Normal bir operator ornegi verin.
8- Eslekle ilgili ilk alti soruyu kullanarak $\tau$ normal bir operatorse
-
$\tau^*$ operatorunun,
-
$\tau$ tersinirse $\tau^{-1}$ operatorunun
-
Her $p(X)\in\mathbb{R}[X]$ icin $p(\tau)$ operatorunun
normal oldugunu gosteriniz.
Not: Ikinci kisim birinci kisimdaki sorulardan cok kolay cikiyor. Ilk kisimdaki sorular icin de tekrar tekrar Riesz temsil teoreminin teklik kisminin kullanilmasi gerekiyor. Bir lisans ogrencisi lineer cebir aldiktan sonra bu soruyu 15 dakika icinde yapabilir.