Hangi matrisler kosegenlestirilebilir? Neden? Nasil?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
331 kez görüntülendi


26, Eylül, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,393 puan) tarafından  soruldu

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bir matris kosegenlestirilebilir eger butun reel ozdegerleri birbirinden fakli ise..

Eger a Matrisinin ozdegerleri birbirinden farkli ise, bunlara karsilik gelen ozvektorler bulunur ve sutun vektor olarak yazilarak $P$ matrisi olusturulur.. Sonra $P^{-1}$ bulunur.. $K$ ise $A $ nin ozdegerlerinden olusan kosegen matristir ve aralarinda soyle bir iliski var

$A=PKP^{-1}$

28, Eylül, 2015 Okkes Dulgerci (1,318 puan) tarafından  cevaplandı
28, Eylül, 2015 Okkes Dulgerci tarafından düzenlendi

  image 

$A$ nin ozdegerleri 7 ve 0 dir ve sirasiyla bu ozdegerlere karsilik gelen ozvektorler $(1,2)^T$ ve $(-3,1)^T$ $P$ yi olustururken $(1,2)^T$ yi ilk sutuna koydugumuz icin $K$ nin ilk elemani 7 dir.

Ozdegerleri farkli olan matirsler kosegenlestirilemeyebilir. Bunun yaninda ozdegerleri ayni olan matrislerin bir kismi da kosegenlestirilebilir. Kisaca cevap dogru degil sevgili Okkes.


Birinciye ornek duzlemde doksan derece rotasyon, ikinciye ornek nerde olursa olsun birim matris.

Ozvektorlerin reel olma sartini eklemeyi unutmusum..


0 beğenilme 0 beğenilmeme

$k$ bir cisim, $A$ da girdileri $k$'dan olan $n \times n$ bir matris olsun. $T: k^n \to k^n$ lineer fonksiyonunu her $x \in k^n$ icin $T(x) = Ax$ olarak tanimlayalim. Bir baska deyisle, $A$ matrisi $T$ fonksiyonunun standart tabana gore matrisi olsun.

Varsayalim ki $A$'nin lineer bagimsiz $n$ tane ozvektoru var. Ya da baska bir deyisle, $A$ matrisinin ozvektorleri $k^n$'in bir tabanini olustursun. Bu tabani $B = \{ v_1, \ldots ,v_n\}$ olarak gosterelim ve $v_i$'ye bagli ozdegerin $\lambda_i$ oldugunu varsayalim. ($A$'nin ozvektorlerinin ayni zamanda $T$'nin ozvektorleri de oldugunu unutmayalim.)

Simdi, $T$ fonksiyonunun $B$ bazina gore matrisini yazalim:

$$T(v_i) = \lambda_i.v_i = 0 . v_1 + \ldots + \lambda_i.v_i + \ldots + 0.v_n$$

oldugundan, elde edecegimiz $[T]_B$ matrisinin $i$'inci sutunu $$\begin{bmatrix} 0 \\  \vdots \\ \lambda_i  \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}$$ olacak. Yani, $$[T]_B = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0  & \ldots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 & \ldots &  0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\ 0 & 0& 0 & \ldots & \lambda_n\end{bmatrix}$$ olacak. Kosegen bir matris elde ettik. Simdi taban degistirme formulunu uygularsak, $$A = [T]_{std} = P [T]_B P^{-1}$$ elde ediyoruz. $P$'nin ne oldugu Okkes Dulgerci'nin cevabinda soylenmis.

Demek ki $n \times n$ matrisimizin $n$ tane lineer bagimsiz ozvektoru varsa, matrisimiz kosegenlestirilebilir.

Ote yandan, eger matrisimiz kosegenlestirilebilirse $A = P D P^{-1}$ olacak sekilde tersinir bir $P$ matrisi ve kosegen bir $D$ matrisi var demektir. $P$ tersinir oldugu icin, sutunlari lineer bagimsizdir. $\{ p_1, \ldots , p_n \}$ kumesi, $k^n$'nin $P$'nin sutunlarindan olusan tabani olsun. Eger $D$ kosegen matrisinin $ii$ girdisini $d_i$ ile gosterecek olursak, ve $T$ lineer fonksiyonu en bastaki gibi tanimlanmissa, $$T(p_i) = d_i p_i$$ olur ki bu da $p_i$, $T$'nin (dolayisiyla $A$'nin) ozvektoru oldugu anlamina gelir. Yani, $A$'nin $n$ tane lineer bagimsiz ozvektoru vardir.

O halde, eger $n \times n$ matrisimiz kosegenlesirilebilirse, matrisimizin $n$ tane lineer bagimsiz ozvektoru vardir.

Iki kalinyaziyi birlestirirsek bir matrisin kosegenlestirilebilmesi icin gerek ve yeter kosulun matrisin $n$ tane lineer bagimsiz ozvektore sahip olmasi oldugunu goruyoruz.

-Okkes Dulgerci'nin yanitina yorum: Eger butun ozdegerler birbirinden farkliysa, bu ozvektorlerin lineer bagimsiz oldugu anlamina gelir. Ama eger $k$ cismi cebirsel kapali bir cisim degilse, $A$'nin karakteristik polinomunun $n$ tane koku olmasi garanti edilemez. Boyle bir durumda da yeteri kadar ozdeger bulunamayacagi icin, vektor uzayinin boyutu kadar lineer bagimsiz ozvektor elde edilemez. Ama eger $k$ cebirsel kapaliysa, ozdegerlerin farkli olmasi kosegenlestirilebilmeyi garantiler.

-Son yorum: Taban degistirme olayi guzel bir sey.


28, Eylül, 2015 Ozgur (2,098 puan) tarafından  cevaplandı

Peki böyle özvektörlerin var olduğunu nasıl anlarız?

Biraz ucuz bir cevap belki ama ozuzaylarin boyutlari toplami asil uzayin boyutuna esitse.

Ozuzayin boyutunu bulmak icin de eger $\lambda$ bir ozdeger ise $A - \lambda I$ matrisinin rankini bulup rank-nullity teoremini kullanabiliriz.

Baska nasil anlariz?

Ic carpimi nasil kullanabilirim? Ozvektorlerin dik olmasi lineer bagimsiz olduklarini soyler mesela ama bu isime yaramaz?

Minimal polinomun köklerinin tek katlı olması.

aaah. dogru ya, biliyordum

...