k bir cisim, A da girdileri k'dan olan n×n bir matris olsun. T:kn→kn lineer fonksiyonunu her x∈kn icin T(x)=Ax olarak tanimlayalim. Bir baska deyisle, A matrisi T fonksiyonunun standart tabana gore matrisi olsun.
Varsayalim ki A'nin lineer bagimsiz n tane ozvektoru var. Ya da baska bir deyisle, A matrisinin ozvektorleri kn'in bir tabanini olustursun. Bu tabani B={v1,…,vn} olarak gosterelim ve vi'ye bagli ozdegerin λi oldugunu varsayalim. (A'nin ozvektorlerinin ayni zamanda T'nin ozvektorleri de oldugunu unutmayalim.)
Simdi, T fonksiyonunun B bazina gore matrisini yazalim:
T(vi)=λi.vi=0.v1+…+λi.vi+…+0.vn
oldugundan, elde edecegimiz [T]B matrisinin i'inci sutunu [0⋮λi⋮0] olacak. Yani, [T]B=[λ100…00λ20…000λ3…0⋮⋮⋮⋮⋮000…λn] olacak. Kosegen bir matris elde ettik. Simdi taban degistirme formulunu uygularsak, A=[T]std=P[T]BP−1 elde ediyoruz. P'nin ne oldugu Okkes Dulgerci'nin cevabinda soylenmis.
Demek ki n×n matrisimizin n tane lineer bagimsiz ozvektoru varsa, matrisimiz kosegenlestirilebilir.
Ote yandan, eger matrisimiz kosegenlestirilebilirse A=PDP−1 olacak sekilde tersinir bir P matrisi ve kosegen bir D matrisi var demektir. P tersinir oldugu icin, sutunlari lineer bagimsizdir. {p1,…,pn} kumesi, kn'nin P'nin sutunlarindan olusan tabani olsun. Eger D kosegen matrisinin ii girdisini di ile gosterecek olursak, ve T lineer fonksiyonu en bastaki gibi tanimlanmissa, T(pi)=dipi olur ki bu da pi, T'nin (dolayisiyla A'nin) ozvektoru oldugu anlamina gelir. Yani, A'nin n tane lineer bagimsiz ozvektoru vardir.
O halde, eger n×n matrisimiz kosegenlesirilebilirse, matrisimizin n tane lineer bagimsiz ozvektoru vardir.
Iki kalinyaziyi birlestirirsek bir matrisin kosegenlestirilebilmesi icin gerek ve yeter kosulun matrisin n tane lineer bagimsiz ozvektore sahip olmasi oldugunu goruyoruz.
-Okkes Dulgerci'nin yanitina yorum: Eger butun ozdegerler birbirinden farkliysa, bu ozvektorlerin lineer bagimsiz oldugu anlamina gelir. Ama eger k cismi cebirsel kapali bir cisim degilse, A'nin karakteristik polinomunun n tane koku olmasi garanti edilemez. Boyle bir durumda da yeteri kadar ozdeger bulunamayacagi icin, vektor uzayinin boyutu kadar lineer bagimsiz ozvektor elde edilemez. Ama eger k cebirsel kapaliysa, ozdegerlerin farkli olmasi kosegenlestirilebilmeyi garantiler.
-Son yorum: Taban degistirme olayi guzel bir sey.