Lineer operatore bagli modul uzerine

2 beğenilme 0 beğenilmeme
43 kez görüntülendi

$V$ sonlu boyutlu bir $F$-vektor uzayi, $\tau\in End(V)$ herhangi bir endomorfizma olsun. 


1- $p\in F[X]$ tarafindan $v\in V$ icin $$p(X)\cdot v:= p(\tau)(v)$$ biciminde tanimlanan carpmanin $V$ uzerinde bir $F(X)$-modul yapisi tanimladigini gosterin. $V$'yi bu modul yapisiyla gormek istedigimiz zaman $V_{\tau}$ yazacagim.

2- $End(V)$ vektor uzayinin boyutunun $n^2$ oldugunu gosterin.

3- Bir onceki soruyu kullanarak $1,\tau,\tau^2,\cdots,\tau^{n^2}$ elemanlarinin $End(V)$ icinde lineer bagimli oldugunu gosterin. Bunu kullanarak da $p(\tau)$'nun uygun bir $p(X)\in F[X]$ icin sifir oldugunu gosterin.

4- Ucuncu soruyu kullanarak $Ann(V_{\tau})$'nun ($\tau$'nun $F[X]$-halkasindaki sifirlayicilari) idealinin bos olmadigini ve Hilbert'in temel teoremini kulllarak bu idealin bir esas ideal oldugunu gosterin.

5- $V$'nin $F[X]$-modul olarak da sonlu uretecli oldugunu gosterin.

6- Eger $\sigma\in End(V)$ ikinci bir endomorfizma ise $V_{\tau}$ ile $V_{\sigma}$ arasindaki her modul homomorfizmasi ayni zamanda altta yatan kume $V$ uzerinde dusunuldugunda bir $F$-endomorfizmasi tanimlar.

7- $\phi:V_{\tau}\longrightarrow V_{\sigma}$ arasinda bir $F[X]$-modul homomorfizmasi olsun. Bu durumda $$\phi(x\cdot v)=x\cdot \phi(v)$$olacaktir. Yani $\phi$ fonksiyonu $F[X]$'ten elemanlarla carpmayla yer degistirecektir. Bunu kullanarak $$\phi(\tau(v))=\sigma(\phi(v))$$ esitliginin her $v$ icin saglanacagini gosterin.

8- Simdi bir onceki sorudaki $\phi$ modul homomorfizmasinin ayni zamanda izomorfizma oldugunu varsayalim. Bu durumda $\phi$'nin tersinir olmasini ve bir onceki sorunun en sonunda elde edilen esitligi kullanarak $$\phi\tau\phi^{-1}=\sigma$$olacagini gosterin.

9- Simdi de tersinden bakalim. $\phi\in End(V)$ olsun ve ayrica $$\phi\tau\phi^{-1}=\sigma$$ esitligini saglasin. Bu esitligi $$\phi\tau=\sigma\phi$$biciminde yazin ve bu esitligi kullanarak $\phi$'nin $V_{\tau}$ ve $V_{\sigma}$ arasinda bir $F[X]$-modul homomorfizmasi tanimladigini gosterin.

10- Yedi, sekiz ve dokuzuncu sorulari kullanarak su sonucu cikartin: $V_{\tau}$'nun $V_{\sigma}$'ya $F[X]$-modul olarak izomorf olmasi icin gereken ve de yeterli olan kosul $\tau$ ve $\sigma$ operatorlerinin $End(V)$ icinde birbirlerine eslenik olmalaridir.

24, Eylül, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,357 puan) tarafından  soruldu
24, Eylül, 2015 Safak Ozden tarafından düzenlendi
...