Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
381 kez görüntülendi

V sonlu boyutlu bir F-vektor uzayi, τEnd(V) herhangi bir endomorfizma olsun. 


1- pF[X] tarafindan vV icin p(X)v:=p(τ)(v) biciminde tanimlanan carpmanin V uzerinde bir F(X)-modul yapisi tanimladigini gosterin. V'yi bu modul yapisiyla gormek istedigimiz zaman Vτ yazacagim.

2- End(V) vektor uzayinin boyutunun n2 oldugunu gosterin.

3- Bir onceki soruyu kullanarak 1,τ,τ2,,τn2 elemanlarinin End(V) icinde lineer bagimli oldugunu gosterin. Bunu kullanarak da p(τ)'nun uygun bir p(X)F[X] icin sifir oldugunu gosterin.

4- Ucuncu soruyu kullanarak Ann(Vτ)'nun (τ'nun F[X]-halkasindaki sifirlayicilari) idealinin bos olmadigini ve Hilbert'in temel teoremini kulllarak bu idealin bir esas ideal oldugunu gosterin.

5- V'nin F[X]-modul olarak da sonlu uretecli oldugunu gosterin.

6- Eger σEnd(V) ikinci bir endomorfizma ise Vτ ile Vσ arasindaki her modul homomorfizmasi ayni zamanda altta yatan kume V uzerinde dusunuldugunda bir F-endomorfizmasi tanimlar.

7- ϕ:VτVσ arasinda bir F[X]-modul homomorfizmasi olsun. Bu durumda ϕ(xv)=xϕ(v)olacaktir. Yani ϕ fonksiyonu F[X]'ten elemanlarla carpmayla yer degistirecektir. Bunu kullanarak ϕ(τ(v))=σ(ϕ(v)) esitliginin her v icin saglanacagini gosterin.

8- Simdi bir onceki sorudaki ϕ modul homomorfizmasinin ayni zamanda izomorfizma oldugunu varsayalim. Bu durumda ϕ'nin tersinir olmasini ve bir onceki sorunun en sonunda elde edilen esitligi kullanarak ϕτϕ1=σolacagini gosterin.

9- Simdi de tersinden bakalim. ϕEnd(V) olsun ve ayrica ϕτϕ1=σ esitligini saglasin. Bu esitligi ϕτ=σϕbiciminde yazin ve bu esitligi kullanarak ϕ'nin Vτ ve Vσ arasinda bir F[X]-modul homomorfizmasi tanimladigini gosterin.

10- Yedi, sekiz ve dokuzuncu sorulari kullanarak su sonucu cikartin: Vτ'nun Vσ'ya F[X]-modul olarak izomorf olmasi icin gereken ve de yeterli olan kosul τ ve σ operatorlerinin End(V) icinde birbirlerine eslenik olmalaridir.

Lisans Matematik kategorisinde (3.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 381 kez görüntülendi
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,903 kullanıcı