Schur parcalanisi

1 beğenilme 0 beğenilmeme
64 kez görüntülendi

$Q$ herhangi bir karmasik sayilar uzerinde tanimli $n\times n$ bir matris olsun. 

1- $Q$'nun ozdegeri sifirdan farkli en az bir ozvektoru oldugunu gosterin. (Ipucu: Karmasik sayilar cebirsel olarak kapali, yani her polinomun en az bir tane koku var.)

2- Birinci sorudan varligini bildigimiz bir ozvektor alalim: $v$. $Q$ operatorunun $<v>$ altuzayini kendisine goturdugunu gosterin. 

3- Gram-Schmidt teoremini kullanarak $v$'yi $B=\{v_1=v,v_2,\cdots,v_n\}$ biciminde farkli ikililerin birbirine dik oldugu bir baza tamamlayabileceginizi gosterin. Buradan da $W=<v_2,\cdots,v_n>$ altuzayinin $<v>$ uzayinin ortogonal tumleyeni oldugunu gosterin.

4$^*$- $v_1$'in bir ozdeger oldugunu kullanarak $Q$'nun $B$ bazindaki matrisinin  $(n-1)\times (n-1)$ boyutlu uygun bir $M$ matrisi icin su sekilde olacagini gosterin. \[\begin{bmatrix}    \lambda    & x_{12} & \dots & x_{1n} \\    0     \\ \vdots & & M & \\    0      \end{bmatrix}\]

5- Yukaridaki eslenik donusumu yapmak icin kullanilan matrisin uniter bir matris oldugunu gosterin. Yani standart $(1,0,\cdots,0),(0,1,0,\cdots,0),\cdots,(0,\cdots,0,1)$ bazini orthonormal bir baza goturen bir $M$ matrisin $$M\overline{M}^T=I_n$$ esitligini sagladigini gosterin. Buradan herhangi bir orthonormal bazi baska bir orthonormal baza goturen matrisin de ayni esitligi sagladigini gosterin.

6- Ilk bes adimi tumevarim uygulamak icin kullanarak $Q$matrisinin uygun bir baz ile ust-ucgensel bicimine dondurulebilecegini gosterin.

7- Besinci soruyu su sekilde dile getirin. Her matris ortogonal bir baza gore ust-ucgensel bir matrise uniter bir baz degistirmeyle esleniktir. 

8- Matrislerimizi Reel katsayili alsaydik yukaridaki cikarimlarin yanlis oldugunu bir ornek vererek gosteriniz.

9- Yedinci soru isiginda ilk alti sikki uzerinde bir ic carpim tanimli butun cebirsel kapali cisimler icin gosterebileceginizi kanitlayin.

10$^{**}$- Cebirsel kapali olmayan durum icin de su gerekiyor: Minimal polinomu matrisin katsayilarinin tanimli oldugu cisim uzerinde lineer carpanlarina ayrilan matrisler icin ilk alti sik ispatlanabilir.


$^*$ Tumevarimla $M$ matrisi icin $A$ matrisini elde ettiyseniz ana matris icin kullanmaniz gereken matris \[\begin{bmatrix}    1   & 0 & \dots &0  \\    0     \\ \vdots & & A & \\    0      \end{bmatrix}\] olacak.

$^{**}$ Diagonalde cikan elemanlarin ozdegerler oldugu belli. Demek ki bu formda yazilabiliyorsa ozdegerler cismin icinde bulunuyor. Baska bir deyisle minimal polinom cismimiz icinde tamamen birinci dereceden carpanlar cinsinden yazilabiliyor. Tersi icin de ozel durumda ne kullanildigina dikkat etmek gerek. Cebirsel kapali demek koku bulabiliyoruz demek. Aslinda birinci dereceden carpanlara ayrilmak demek ozdegerlerin hepsinin cismin icinde bulunmasi demek. Yani ayni ispat calisacaktir. Sadece ilk durumda cebirsel kapali diyerek bulundugumuz her polinomun butun kokleri vardir varsayimimiz minimal polinomun kokleri vardir varsayimiyla degistirilmis.


24, Eylül, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,384 puan) tarafından  soruldu
24, Eylül, 2015 Safak Ozden tarafından düzenlendi
...