Sylow-p alt grupların kesişimde ki elemanlar nelerdir?

Question

$G$ bir grup, $P_1$ ve $P_2$ iki tane Sylow-p-alt grup olsun. Eğer $p \in P_1 \cap P_2$ ve $p \neq e$ ise $P_1$ ile $P_2$ aynı Sylow-p- altgruplar mıdır?

Mesela $|G|=63$ olsun. Sylow teoremini kullanarak $G$'nin 7 tane Sylow-3-alt grubu olduğunu söylüyorum. Bu 7 tane Sylow-3-alt grupları ya çakışıktır ya da kesişimlerinde sadece birim eleman vardır demeye çalışıyorum.

Comments

mesela kismi icin: tum sylow gruplar farkli ve 7 elemanli oldugundan kesisimde en fazla 6 eleman olabilir. Fakat kesisimde bir alt grup ve mertebeyi (7yi) bolmeli. Bu durumda sadece kesisim birim olur.

eger sylow'p gruplarin mertebesi p'den buyuk ise kesisimleri birim de olabilir, daha fazla eleman da icerebilir. Ikisi icin de ornek bulmak lazim.

---

@Sercan Yedi tane Sylow-3-altgrubu varmış. Sen sanırım üç tane Sylow-7-altgrubu var diye okudun?

---

Evet, dedigin gibi okumus bulundum. 

$P\cap Q=\{e\}$ olan iki tane sylow-3 alt grup olsa $|PQ|=81$ olur. Yani Tum sylow-$3$'lerin ikili kesisimi $3$ elemanli olmali.