Parabol ile ilgili bir sorum var

Question

$y^2=4cx$ parabolunun ustunde $q_{2}$ 0'dan farklı olacak bicimde verilen bir $(q_{1},q_{2})$ noktasindaki egimi m ise $m=\frac {2c}{q_2} $ ve teget denklemi $q_{2 }y=2c(q_{1}+x)$  olduğunu gosteriniz 

1.islem olarak noktayı parabolde yerine koyuyorum ve ç yi yalnız bırakarak c yi buluyorum ve bulduğum c yi parabol denkleminde yerine yazıyorum 

2.islem olarak parabolun üstündeki noktasi biliniyor ve egimide buradan bir noktasi ve egimi bilinen doğru denklemini buluyorum

3.islemde Bulduğum dogru denkleminde y yi yalnız birakarak 1.de bulduğum denklemin yerine yazarak 2.dereceden denklem elde ediyorum 

4.islem olarak bulduğum 2.dereceden denklemin diskriminantini alıyorum 

Sonuç olarak burdan sonra ne yapabilirim yoksa yanlış mi düşünmüş bulunmaktayim 

NOT: yaptığım çözümü de yazmak isterdim ama soruyu zar zor yazdım kusura bakmayın 

Comments

Verilen noktadaki eğimi nasıl ve kaç buldunuz?

Answer 1

İlk olarak teşekkür ederim ,sitenin kurallarına göre sorulmuş ,açıklamalı bir soru olmuş, keşke ne yapabildiysen latex ile yazsaydın ,mühim değil ,gel beraber inceleyelim...

$y^2=4cx$ diye bir denklem var ve $c$ sabit, eğer $y$ 'ye göre denklem yapmak istersem kök alıcam ve tanım-deger kümelerini kurcalamak gerekcek ,amaan ne uğraşıyoruz?

Bir fonksiyonun $a$ noktasındaki türevi, o fonksiyonun $a$ 'noktasındaki eğimi demek degil midir?


$x$  ve  $a$  noktalarının "fonksiyon" noktaları arasındaki eğim:$\dfrac{f(x)-(a)}{x-a}$   , ve dikkat ediyorsak ,$y$' lerin $x$' lere oranı peki ya böyle yaparsak ,$\dfrac{x-a}{f(x)-f(a)}$  bu da $x$'lerin $y$'lere oranı ,elbette burada $y=f(x)$   eşitliğini düşünüyoruz.


Peki eğim tanımındaki 2 noktayı tek bir noktaya getirmeye çalışırsak n'olur?


$\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\quad=\quad\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Yani türevin tanımı olur ve tek noktada eğim olur yani teğet olur, olur babam olur.....


Niye anlattın bunları foton? "Sıkıldım ya valla , biraz hem latex'i hatırlıyım falan diye" değil, $y^2$'li denklemde $y$'nin $x$'lere oranını bulup oradan çıkacağız.

Görelim...

$y^2=4cx$, denkleminde her tarafın $y$'lere göre oranını alıp oranın farkını yukarda olduğu gibi (türev tanımındaki h'ın 0'a gitmesi gibi) 0 a götürelim yani ,denklemin her tarafını $y$'ye göre diferansiyelliyorum....


$\dfrac{d}{dx}\left(y^2\right)=\dfrac{d}{dx}\left(4cx\right)\quad\to\quad 2y\dfrac{dy}{dy}=4c\dfrac{dx}{dy}$

buradan,$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{y}{2c}$

ve noktamız $(q_1,q_2)$ olduğundan, ve bize $y$'lerin $x$'lere göre oranı lazım olduğundan

 $\star\boxed{\boxed{y'(q_2)=\dfrac{dy}{dx}_{q_2}=\dfrac{2c}{q_2}}}$       ($y=q_2$ noktasında ,$\dfrac{\triangle y}{\triangle x}$'e göre eğim) 

İlk istenileni bulduk,geldik teğet denklemine, bunu nasıl bulursak bulalım ,elimizde değişkenlerini oynayabilceğimiz bir şey olacağından (özdeşlik olduğundan)  sıkıntı olmayacak;
 
$\dfrac{\triangle y}{\triangle x}$  Buna göre eğim $m=\dfrac{2c}{q_2}$  'idi

o zaman $\dfrac{2c}{q_2}=\dfrac{y-q_2}{x-q_1}$   bu denklemi düzeltir $y$'yi yalnız bırakırsak,


$\boxed{\boxed{\dfrac{2c(x-q_1)}{q_2}+q_2=y}}$      bulunur.

Comments

Öncelikle teşekkür ederim. Bir daha ki sorularım da latexi ogrenip kullanacağım hepsinde.

Şimdi yazdiginiz cevaba gelecek olursak ilgilendiğiniz ve cevapladiginiz icin teşekkür ederim ama aklima takılan bir nokta var. 

Soruda istenilen egimi gösterdiniz ama teget denklemine nedense yaptığınız işlemi tekrar bende yapmama rağmen soruda istenilen teget denklemine ulaşamıyorum. 

Birde benim yapmaya çalıştığım çözüm yolu şimdi yanlış mi oluyor?

---

Rica ederim herzaman.

Teğetin egımını y ye gore buldum sonra carpmaya gore tersını aldım. Orada yatıyor işin ipucu.Anlamadıgın noktayı tam olarak sorabılır mısın?

---

Soruda istenilen teget denklemi $q_{2}y=2c(q_{1}+x)$ bu ama sizin sonuçta yazdirdiginiz 

teget denklemi $\frac{2c(x-q_{1})}{q_2}$+$q_{2}$=y 

Yani istenilen sonuca ulaşamadık sanırım 

Geç yazdım kusura bakmayın 

---

Sonuca ulaşmak onemlı degıl, hatalar elbet olur ,muhım olan teknıgı ıyıce anlamanız.Ve işlemlerımı kontrol edıp eger varsa hatamı yazabılırsınız ,boylece tamamen ogrenırsınız.

---

Tekniği anladım o konuda sıkıntı yok hatta bende yaptığiniz işlemleri teker teker yaptım sizinle aynı sonuca ulasiyorum.

Fakat soruda göstermemiz istenilen denkleme ulasamiyorum yani sonuç olarak isleminizde bence hata yok ama hata nerede bulamadım acaba soruda yazdirilmasini istenilen denklem yanlış olabilir mi bunu düşünüyorum