Genel olarak denklik yani kalandaşlık tanımını kullanarak çözelim $a$ ve $b$ sayılarının $x$ sayısına bölümünden kalanları eşitse $a\equiv b \pmod{x}$'tir.
İspatlayalım: (Tamsayılarda çalışıyoruz)
$a=px+r_1$ ve $b=cx+r_2$ olsun, eğer durum bu şekildeyse $a\equiv b \pmod{x}$, $x\mid (a-b)$ anlamına geldiği için $a-b$'yi inceleyelim. $a-b=x(p-c)+r_1-r_2$
kalandaş oldukları yani $r_1=r_2$ olduğu için $a-b=x(p-c)$ oldu. O zaman $a-b$ $x$'nin bir katıdır ve $x\mid (a-b)$ demek ki $a\equiv b \pmod{x}$
Bunu bu soruya uyarlayacak olursak $124\equiv 185 \pmod{x}$ olur bu durumda $x\mid (185-124)\implies x\mid 61$ demek ki $x$ $61$ sayısının bir katı olmalı, bu da $61$ asal olduğundan ötürü $x=1$ veya $x=61$ durumlarını mümkün kılar (ikisinin de $10$'a bölümünden kalan aynı ancak $1$'in mod olarak alınması da anlamsız) bu sebepten $x=61$ üzerine $x\equiv 61 \equiv 1 \pmod{10}$ deriz...