Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
2.5k kez görüntülendi

$X\neq \emptyset$ küme olmak üzere

$$\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2\subset \mathcal{P}(X)\Rightarrow (\cap\mathcal{A}_1)\cap (\cap\mathcal{A}_2)=\cap(\mathcal{A}_1\cap \mathcal{A}_2)$$

$$\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2\subset \mathcal{P}(X)\Rightarrow (\cap\mathcal{A}_1)\cap (\cap\mathcal{A}_2)=\cap(\mathcal{A}_1\cup \mathcal{A}_2)$$

önermeleri doğru mudur? Cevabınızı kanıtlayınız.

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 2.5k kez görüntülendi
Ikinci ifade doğru değil ama ilk ifade doğru. 

Bence tam tersi.

Karşıt örnek vererek ikinci ifadenin yanlışlığını görebilirsiniz. 

Ben aksine örnek vererek birinci ifadenin yanlışlığını göstereyim. Şöyle ki:

$\mathbb{R}$'de çalışalım. $\mathcal{A}_1=\{\{1,2\},\{2,3\}\}$ ve $\mathcal{A}_2=\{\{2,3\},\{3,4\}\}$ olsun. $\cap\mathcal{A}_1=\cap\{\{1,2\},\{2,3\}\}=\{2\}, \,\ \cap\mathcal{A}_2=\cap\{\{2,3\},\{3,4\}\}=\{3\}$ ve $(\cap\mathcal{A}_1)\cap(\cap\mathcal{A}_2)=\{2\}\cap\{3\}=\emptyset$ olur. Fakat $$\mathcal{A}_1\cap\mathcal{A}_2=\{\{2,3\}\}$$ ve $$\cap (\mathcal{A}_1\cap\mathcal{A}_2)=\{2,3\}$$ olduğundan

$$\cap (\mathcal{A}_1\cap\mathcal{A}_2)=\emptyset \neq \{2,3\}=(\cap\mathcal{A}_1)\cap(\cap\mathcal{A}_2).$$

Dolayısıyla birinci önerme yanlış. Benim merak ettiğim ikincinin doğru olduğunu nasıl gösterebileceğimiz.


Verdiğiniz örnek ikinci ifadeyi doğruluyor mu?

Evet doğrulamıyor. Sorumu şöyle revize edeyim. 

$(X,\tau)$ topolojik uzay, $\mathcal{A}_1$ ve $\mathcal{A}_2$ aileleri $X$ kümesinin açık örtüleri olmak üzere

$$(\cap\mathcal{A}_1)\cap(\cap\mathcal{A}_2)=\cap(\mathcal{A}_1\cup \mathcal{A}_2)$$ önermesi doğru mudur?

"Verdiğiniz örnek ikinci ifadeyi doğruluyor mu?" şeklindeki sorunuzu "evet doğrulamıyor" demişim ama şimdi tekrar baktığımda doğru olduğunu fark ettim. Ben mi gözden bir şey kaçırıyorum?

Merhaba Murad Bey. O zaman ne düşünmüştüm hatırlayamadım ama, acaba şöyle bir örnek verebilir miyiz? 

$X=\Bbb{Z}$ tamsayılar kümesi, $A_{1}=\{2\Bbb{Z},~3\Bbb{Z}\}$ ve $A_{2}=\{\{0\}, 2\Bbb{Z}\}$ olsun. İkinci ifadenin sol yanı $\{0\}$ ve sağ yanı ise $2\Bbb{Z}\cup 3\Bbb{Z}$ çıkar. Kontrol lütfen. 

Merhaba Handan hanım.

$\left.\begin{array}{rr} \mathcal{A}_1=\{2\mathbb{Z},3\mathbb{Z}\}\\ \mathcal{A}_2=\{\{0\},2\mathbb{Z}\}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2=\{\{0\},2\mathbb{Z},3\mathbb{Z}\}\Rightarrow \cap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)=\{0\}$ olur ve sol tarafa eşit çıkar. Örnek, söz konusu eşitliği sadece destekliyor. Yani aksine örnek olmuyor.

$A_{1}\cup A_{2}$' de $\{0\}$ var mı?

Evet. Var.          

Bu ifade doğrumuymuş. Bu durumda onu ispat etmeye çalışalım. Ama benim hissettiğim doğru değil!

Buradaki linke bir cevap ekledim. İspata yönelik görüşleriniz?

$0$ en az birine ait olduğundan $\{0\}$ birleşime ait olur mu demek istemiştim.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Yorumlardan da görüldüğü üzere $1.$ önerme yanlış ikincisi ise doğrudur. $2.$ önermenin doğru olduğunu şöyle ispatlayabiliriz:

$$\left.\begin{array}{ccc}\mathcal{A}_1\subseteq \mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2\Rightarrow \cap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)\subseteq\cap \mathcal{A}_1 \\ \mathcal{A}_2\subseteq \mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2\Rightarrow \cap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)\subseteq\cap \mathcal{A}_2 \end{array}\right\}\Rightarrow\cap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)\subseteq (\cap \mathcal{A}_1)\cap(\cap \mathcal{A}_2)\ldots (1)$$

$$x\in (\cap \mathcal{A}_1)\cap(\cap \mathcal{A}_2)$$

$$\Rightarrow$$

$$(x\in (\cap \mathcal{A}_1))(x\in (\cap \mathcal{A}_1))$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall A_1\in\mathcal{A}_1)(x\in A_1)(\forall A_2\in\mathcal{A}_2)(x\in A_2)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall A\in\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)(x\in A)$$

$$\Rightarrow$$

$$x\in \cap (\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)\ldots (2)$$

O halde

$$(1),(2)\Rightarrow \cap (\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)=(\cap \mathcal{A}_1)\cap(\cap \mathcal{A}_2)$$

elde edilir.

(11.4k puan) tarafından 
20,219 soru
21,752 cevap
73,354 yorum
1,988,359 kullanıcı