Question

Hipotenüsün uzunluğunun dik kenarların uzunluklarının toplamı olduğu dik açılı bir üçgen mümkün müdür? 

Başka bir deyişle a^2+b^2=c^2 ve a+b=c denklemlerini aynı anda çözen a, b ve c'ler var mıdır? 

varsa, örnek? (lütfen)

yoksa, neden yok? (lütfen)

Answer 1

$a+b=c$ ise birde pisagor bağıntısından biliyoruz ki $a^{2}+b^{2}=c^{2}$  şimdi 

Cauchy schwartz eşitizliği uygulayalım

$(a+b)^{2}<=(1^{2}+1^{2}).(a^{2}+b^{2})$

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ idi  yukarıda yazarsak

$(a+b)^2<=|{2}.c^{2}|$=> $a+b<=|\sqrt{2}.c|$

Bu eşitsizliğe bakarak olabileceğini söyleyebiliriz gibi. $a+b$ toplamı $\sqrt{2}.c$ den küçük veya eşit ise daha küçük olan $c$ yede eşit olabilir ama örnek bulamayacağım yardımı dokunursa a,b,c den biri 3 ile bölünmek zorundadır.

Answer 2

Bu denilen hiç bir üçgende olmaz. ($b\geq a$ olsun) Üçgen eşitsizliğinden $b-a<c<b+a$ olmalıdır.

Dik üçgen için fazladan bir ispat olarak, eger olabileceğini kabul edersek $a^2+b^2=(a+b)^2$'den $2ab=0$ gelir yani $a=0$ ya da $b=0$ olmalıdır. Bu koşul da üçgen değil, dogru parçası verir.

Comments

Doğru üçgen eşitsizliği bende sadece olabilir dedim ama olmuyormuş :)

Answer 3

$a+b=c$ denkleminde her iki tarafın karesini alırsak $a^2+2ab+b^2=c^2$ olur. $a^2+b^2=c^2$ olması için $2ab$ ifadesi $0$ olmalıdır. $2ab=0$ olması için $a=0$ veya $b=0$ olmalıdır. Kenar uzunluğu $0$ olan üçgen olmadığından böyle bir üçgen olamaz. En azından Öklid düzleminde diyelim de sonra üçgenin iç açıları toplamı $270^o$ çıkmasın :)

Answer 4

Bir üçgende herhangi iki kenarın uzunluğu toplamı üçüncü kenar uzunluğuna eşit olamaz. Üçüncü kenardan uzun olmalıdır.(üçgen eşitsizliği)