Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
814 kez görüntülendi

x2+y2+z2+2xyz=1 eşitliğini sağlayan kaç tamsayı üçlüsü  vardır ? 

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (1.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 814 kez görüntülendi

Kaç tamsayı üçlüsü diyecektiniz galiba ve bu denklemi sağlayan tamsayı üçlüleri var mı?

Bu eşitliği sağlayan bazı tamsayı üçlüleri: (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1). Ama başka var mı?

Evet baya bir var

x=1 icin y=z'den bir suru coum gelir, ayrica simetiden y=1 ya da z=1 diye baslayabiliriz. Lakin sorunun cozumunun uzun surecegi kanisindayim. integral noktalar (tam sayi cozumler) kumesini bulmak icin hazir bir yontem yok, genelde zor ve cozumu uzun olur. 

Şöyle çözdüm  (-1,a,a) için sonsuz Z  çözüm geliyor.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Wolfram alphaya sordum değişen x ve y değerleri için z=(kök(x^2y^2-4x^2-4y^2+4)-xy)/2 veya z=(-kök(x^2y^2-4x^2-4y^2+4)-xy)/2


(25 puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

(1x)(1y)(1z)=xyz+xy+xz+yzxyz+1 açılımını kullanarak

x2+y2+z2=12xyz denkleminin her iki tarafına da 12(x+y+z)+2(xy+xz+yz) eklersek 

x2+y2+z2+2(xy+xz+yz)2(x+y+z)+1=2xyz+2(xy+xz+yz)2(x+y+z)+2

denklemini elde ederiz bunu da düzenleyince (x+y+z1)2=2(1x)(1y)(1z) olduğunu görürüz x=1 verirsek (1+y+z1)2=2.0.(1y).(1z) olması için y+z=0 olması gerektiğini görürüz ve bu da sonsuz sayıda (x,y,z) üçlüsü olduğunu görürüz.

(2.9k puan) tarafından 
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,862,051 kullanıcı