denklemler

Question

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=1$ eşitliğini sağlayan kaç tamsayı üçlüsü  vardır ? 

Comments

Kaç tamsayı üçlüsü diyecektiniz galiba ve bu denklemi sağlayan tamsayı üçlüleri var mı?

---

Bu eşitliği sağlayan bazı tamsayı üçlüleri: $(\mp1,0,0),(0,\mp1,0) , (0,0,\mp1)$. Ama başka var mı?

---

Evet baya bir var

---

$x=1$ icin $y=-z$'den bir suru coum gelir, ayrica simetiden $y=1$ ya da $z=1$ diye baslayabiliriz. Lakin sorunun cozumunun uzun surecegi kanisindayim. integral noktalar (tam sayi cozumler) kumesini bulmak icin hazir bir yontem yok, genelde zor ve cozumu uzun olur. 

---

http://www.jstor.org.ucd.idm.oclc.org/stable/2310390?seq=1&uid=3739192&uid=2&uid=4&sid=21106268834961#page_scan_tab_contents

---

Şöyle çözdüm  (-1,a,a) için sonsuz $ Z$  çözüm geliyor.

Answer 1

Wolfram alphaya sordum değişen x ve y değerleri için z=(kök(x^2y^2-4x^2-4y^2+4)-xy)/2 veya z=(-kök(x^2y^2-4x^2-4y^2+4)-xy)/2

Answer 2

$(1-x)(1-y)(1-z)=-xyz+xy+xz+yz-x-y-z+1$ açılımını kullanarak

$x^2+y^2+z^2=1-2xyz$ denkleminin her iki tarafına da $1-2(x+y+z)+2(xy+xz+yz)$ eklersek 

$x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)-2(x+y+z)+1=-2xyz+2(xy+xz+yz)-2(x+y+z)+2$

denklemini elde ederiz bunu da düzenleyince $(x+y+z-1)^2=2(1-x)(1-y)(1-z)$ olduğunu görürüz $x=1$ verirsek $(1+y+z-1)^2=2.0.(1-y).(1-z)$ olması için $y+z=0$ olması gerektiğini görürüz ve bu da sonsuz sayıda $(x,y,z)$ üçlüsü olduğunu görürüz.