(a+b-c+d) ifadesinin 8.kuvvetinin binom açılımında kaç farklı terim vardır?

Question

Kullanabilecegim bir formul var mi yoksa baska bir metod mu denenmeli?

Comments

Öncelikle $(a+b)^n$ açılımında kaç terim var? $n+1$ değil mi? $n=8$ için $9$ terim gelir. Peki $(a+b+c)^n$ de kaç terim vardır? Bunu $a+b=x$ olarak alıp $x+c)^n=C(n,0)x^n+C(n,1)x^{n-1}.c+...+C(n,n-1)xc^{n-1}+C(n,n)c^n$ olduğunu dikkate alıp, $x^n$'den yine $n+1$ terim geldiğini dikkate almalıyız.

---

Bu ifade için a+b=x d-c=y demem dogru olur mu?

---

Evet neden olmasın?

---

Böyle yaptigim zaman x+y li ifade 9 terimli oluyor dediginiz gibi peki bundan sonra napacagim yani ayri ayri parantezleyemem carpim degiller

---

$x=a+b, y=-c+d$ ise $(x+y)^8=C(8,0)x^8+C(8,1)x^7y+C(8,2)x^6y^2+...$ şeklinde düşünürsek $...C(8,3)x^5y^3...$ teriminde $x^5$ den $6$ terim,$y^3$ den $4$ terim sonuçta $6.4=24$ terim vardır. 

---

Cevap anahtarnda 165 gosteriyor

---

Ama en çok terim açılımın hangi teriminden gelir?

---

$(x+y)^8=C(8,0)x^8y^0+C(8,1)x^7y+C(8,2)x^6.y^2+C(8,3)x^5.y^3+...+C(8,8)x^0y^8$ olduğundan 

$C(8,0)x^8y^0$ 'dan $(8+1).(0+1)=9$ terim,

$C(8,1)x^7y^1$ 'dan $(7+1).(1+1)=16$ terim,

$C(8,2)x^6y^2$ 'dan $(6+1).(2+1)=21$ terim,

$C(8,3)x^5y^3$ 'dan $(5+1).(3+1)=24$ terim,

$C(8,4)x^4y^4$ 'dan $(4+1).(4+1)=25$ terim,

$C(8,5)x^3y^5$ 'dan $(3+1).(5+1)=24$ terim,

$C(8,6)x^2y^6$ 'dan $(2+1).(6+1)=21$ terim,

$C(8,7)x^1y^7$ 'dan $(1+1).(7+1)=16$ terim,

$C(8,8)x^0y^8$ 'dan $(0+1).(8+1)=9$ terim  gelir. Dikkat edilirse tüm terimler birbirinden farklıdır. Dolayısıyla toplamda $9+16+21+24+25+24+21+16+9=165$ terim gelir.

---

Anladim cok tesekkur ederim :)

---

Peki bunu $(x+y+z+t)^n$için genelleştirirsek bir formül bulur muyuz? Bu formül nasıldır? Hatta belki de $(a_1+a_2+a_3+...+a_m)^n$ için bu formül ne olur acaba? 

---

$(x+y)^n$ ----> (n+1)(1+1)+(n-1 + 1)(2+1)+.....+(0+1)(n+1) gibi bir formul olabilir mi?

Answer 1

$8$ tane sekeri $4$ tane cocuga nasil dagitiriz? $$ssssssss |||$$ yer degistirmesi ile. Bu da $$\dbinom{11}{3}=\frac{11\cdot 10 \cdot 9}{1\cdot 2 \cdot 3} =165$$ olur. (Gelen her kat sayinin sifir olmayacagini gormek zor degil, hatta degerini bile yazabiliriz, binom ile).