Question

$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\ln x}{e^x}$ limitinin degerini bulunuz.

Answer 1

Bir kere L'hopital alinca $$\lim\limits_{x\to\infty} \frac1{xe^x}$$ limitini elde ederiz.

Answer 2

Merhabalar

Soru cozulmus ,farkli bir yorum olmasi ve seneye L'hopital in lise mufredatindan kaldirilmiş olmasi sebebiyle bende   yazmak istedim.

Logaritmik bir fonksiyonun artişi üstel bir fonksiyona göre çok çok yavaştir. x in sayisal degeri arttikça $e^x $  çılgınca artarken lnx buna karşılık veremeyecektir dolayisiyla oran gittikce kücülür. Ayrica şu siralama da x in arti sonsuza dogru gittigi durumlarda, n bir dogalsayi iken geçerlidir

$x^x> x!>n^x >x^n>x>lnx $  n>1  (tabi bu listeye daha ekleme yapilabilir)

Iyi calismalar

Comments

"x in sayisal degeri arttikça $e^x$  çılgınca artarken $\ln x$ buna karşılık veremeyecektir." Pek buna L'h disinda bir yontem verebilir misiniz?

Mesela, buradaki ikinci cevabimda aradaki bir esitligin L'h disi cozumu var. Bunun gibi bir cozum yazabilir miyiz burada da.

Bu esitsizliklerin kaynagi da onemli.

---

Merhabalar

Sercan bey güzel soru aslinda yazana kadar bende sayisal degerler dişinda düsünmemiştim (kategorik olarak) ama madem ki sordununuz ben de cevap olur mu bilmem  ama şoyle düşündüm. Iki fonksiyon da artan fonksiyonlar (1. Türev çaresiz cizilen tegetler pozitif egimli fonksiyonlar artan) ama 2. Türev (çukurlugun yönü) sanki daha açikca lnx için $ e^x $ ile kapişamayacagi gibi bir durum sunuyor sanirim. 

Düsünmeye devam başka yorumlar daha iyi olabilecektir.

Iyi calismalar

---

Yukaridaki yorumda link eklemeyi unutmusum. Burada dedigim: link.

Tureve girdigimizde aslinda bi nevi L'h mantigina girmis oluyoruz. 

---

$\begin{align*} & \ln x=y\\ & e^{y}=x\end{align*}$

$\dfrac {y} {e^{e^{y}}}$

Ve

e>1

---

Yukarısı lineer artarken, aşağısı üstel olarak artacak.

---

Asagisi ussel artacak demek istedin galiba. Bu da neredeyse matbaz'in verdigi $n>1$ icin $n^x>\hspace{-0.2cm}>x$ kismini kullanmak oluyor.

Hatta soyle: $e^{e^x}>\hspace{-0.2cm}>e^x>\hspace{-0.2cm}>x$.

---

Düzelttim, teşekkürler.

---

Peki nereden biliyoruz bunu?