Sanırım burada sorulması gereken şey neyin ergodik olmasının tanımını arıyoruz? İçerisinde bulunduğu bağlama göre ölçü koruyan dönüşümlerin bir ölçüye göre ergodik olması, bir ölçünün bir dönüşüme göre ergodik olması, hatta bir ölçünün bir denklik bağıntısına göre ergodik olmasından bahsedebilirsiniz. (Eminim içerisinde ergodik lafı geçen daha çok şey vardır ancak şu an aklıma ilk gelenleri yazdım.)
Bunların hepsindeki ortak yan ergodikliğin genel olarak dönüşümünüz (ya da bağıntınız) altındaki değişmez (invariant) kümelerin ölçümünün ya 0 ya da 1 olmasını gerektirmesi.
Daha spesifik olmak gerekirse, $T: X \rightarrow X$, $(X,\Sigma,\mu)$ olasılık uzayı üzerinde ölçü koruyan ölçülebilir bir dönüşüm olsun. $T$'ye ergodik bir dönüşüm denir ancak ve ancak ölçülebilir her $T^{-1}[E]=E$ için ya $\mu(E)=0$ ya da $\mu(E)=1$ oluyorsa.
Bazen çalışmak istediğiniz dönüşümü sabitleyip bu dönüşüm altındaki farklı $T$-değişmez ölçülerle de ilgilenebilirsiniz. Bu durumda $T$'yi ergodik yapan "ergodik ölçülerden" bahsedebilirsiniz. Mesela böyle tek bir tane ölçü varsa bu durumda $T$'ye biricik şekilde ergodik (uniquely ergodic) deniyor. Buna örnek olarak $S^1$ üzerindeki herhangi bir irrasyonel rotasyon alınabilir. Buradaki biricik ergodik ölçü Lebesgue ölçüsü oluyor.
Son verdiğim örnek daha spesifik kalıyor ancak gene de söyleyeyim. Elinizde bir Leh (Polish) uzayı $X$ üzerinde tanımlanmış bir Borel denklik bağıntısı $E$ varsa, $E$-değişmez her $A \subseteq X$ Borel kümenin ölçüsünün ya 0 ya da 1 olmasını gerektiren Borel olasılık ölçümlerine $E$-ergodik deniyor mesela. Borel denklik bağıntılarını çalışanların sık sık kullandığı şeyler bunlar.
Kısaca ergodikliğin "mottosu" dönüşümünüz altındaki değişmez kümelerin ya 0 ya da 1 ölçüme sahip olması.
Ergodik dönüşümler önemli ve kullanışlı şeyler. Mesela elinizde ergodik bir dönüşüm varsa
Birkhoff'un ergodik teoremi sayesinde $L^1$ fonksiyonların integrallerini (ölçüsü 1 olan bir küme içerisindeki) bir noktadan başlayıp fonksiyonun bu noktanın ergodik dönüşümünüz altındaki yörüngesi üzerinde ortalamalarının limitlerini alarak hesaplayabiliyorsunuz. (Hatta ne tesadüf ki az önce yazıyor olduğum bir kanıtın çok önemli bir parçasıydı bu teorem =)