$f(x+y) = f(x) + f(y)$ özelliğini sağlayan tüm fonksiyonlar.

Question

1. Tamsayılar (ya da doğal sayılar) kümesinden kendisine giden ve her $x$ ve $y$ için $f(x+y) = f(x) + f(y)$ özelliğini sağlayan tüm fonksiyonları bulun.

Aşağıda verdiğim bir cevap var fakat hiç tatmin olmadım cevabımdan.

Answer 1

Bunun bir homomorfizma oldugu acik. Fakat daha temel elimizde neler var ona bakalim:

1) $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ oldugundan $f(0)=0$.
2) $0=f(0)=f(a+(-a))=f(a)+f(-a)$ oldugundan $f(-a)=-f(a)$.
3) $n>0$ icin $f(n)=nf(1)$: ispat: $f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)$ ve $f(n)=f(n-1+1)=f(n-1)+f(1)$. (yani tumevarimdan ispatlayabiliriz.)
4) O halde $x \in \mathbb Z$ icin $f(x)=xf(1)$ olmali. Yani $f(x)=ax$ olmali ($a \in \mathbb Z$).

Buraya kadar eger bu sart saglanmasi gerekiyorsa $f(x)=ax$ seklinde olmasini gosterdik. Ayrica  tum $a,x,y \in \mathbb Z$ icin $a(x+y)=ax+ay$ oldugundan, butun hepsinin istenen sarti sagladigini gostermis oluruz.

Comments

3. şıkta bir yanlış yazım var galiba. $f(1) + f(1) = 2\cdot f(1)$ olmalı, değil mi?

Ayrıca homomorfizma nedir? (Basit bir dille anlatılabilir mi, yoksa ileri seviye bir konu mudur?)

Ve bu şartı sağlayan başka fonksiyonlar olabilir mi?

---

$G,H$ grup ve $f:G \rightarrow H$ fonksiyon ve tum $a,b \in G$ icin $f(a.b)=f(a)*f(b)$ ise $f$ homomorfizmadir. Aralardaki islemleri farkli yazdim cunku ilki $G$'nin, ikincisi $H$'nin islemi.

Cevapta 1-4 arasi zaten eger sart saglanacaksa mecbur bu sekilde oldugu gosteriliyor. Yani en fazla bu kadar olabilir kismi gosteriliyor. Son cumle de bunlarin hepsinin istenen sarti sagladigini soyluyor. Yani hepsini bulmus oluyoruz.

Answer 2

Doğal sayılar için inceleyelim.

$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ ise

$f(x+y) = f(x) + f(y)$ şartını sağlayan fonksiyonları arıyoruz.

Dağılma özelliği (ve birleşme) olan bir işlem şartımızı sağlar.

Örneğin: $a \in \mathbb{N}$ için  $f(x) = (a \cdot x)$ olsun.

\begin{equation}
f(x+y) = a \cdot (x+y)
      = a\cdot x + a\cdot y
      = f(x) + f(y)
\end{equation}


$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$
$f(x) = a\cdot x$ kuralıyla tanımlı fonksiyon\\
$\forall a \in \mathbb{N}$ için
$f(x+y) = f(x) + f(y)$ şartını sağlar.

Ayrıca, $Id_{\mathbb{N}} (x+y) = Id_{\mathbb{N}} (x) + Id_{\mathbb{N}} (y)$ şartı sağlar.

Comments

Sondaki $Id_{\mathbb{N}}$ de aslinda $a = 1$ ile carpma. Yani buldugun butun fonksiyonlar bir sayi ile carpma.

Peki bunlarin butun toplamsal fonksiyonlar oldugunu nereden biliyoruz? Baska olamaz mi?

---

$Id_{\mathbb{N}}$ için haklısınız. gereksiz bir tekrar olmuş.

Bilmiyorum açıkçası. Dağılma ve birleşme özelliğine sahip işlemlerin sonlu defa uygulandığı fonksiyonlar olarak düşünmüştüm.

İpucu verebilir misiniz?

---

Sercan'in cevabi geldi. Bence simdi Sercan'in cevabini okuyarak, sorumuzu gelistirelim: 

1) $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ olsun.

2) $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$ olsun.

3) $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ olsun.

4) $f: \mathbb{Z} \to V$ olsun ($V$ bir vektor uzayi, ya da bir grup ama grup teorisi almadigini varsayiyorum. Vektor uzaylari daha once gosteriliyor genelde).

5) $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Z}$ olsun.

6) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ olsun.

Bu sorulardan birkac tanesinin cevabi, ya da buna benzer sorulara cevaplar bu sitede mevcut. Ilk 3'unu yapabilirsin Sercan'in cevabina bakarak. 4'u eger vektor uzaylarini hic duymamissan yapma. 5'i de yapabilirsin. 6 biraz daha zor. Bu sitede cevabi mevcut.