$f(x)=y,$ $f''(x)=\cos x\cdot f'(x)$ ve $f(0)=f'(0)=1$ olduğuna göre $f(\pi)=?$
$\ln y=g(x)$ ise $\frac{y^\prime}{y}=g^{\prime}(x)$ olur.
$f''(x)=\cos x\cdot f'(x)$ ise $\frac{f''(x)}{f'(x)}=\cos x$ yani $\ln(f'(x))=\sin x+c$ olur. Buradan da $f'(x)=e^{\sin x+c}$ bulunur. $f'(0)=1$ olduğundan $c=0$ çıkar. Yani $f(x)=\int e^{\sin x}dx$ olur. Sonrasında ne yapabiliriz.
Gecen sordugun soru bunun icin miydi? $0$ ile $\pi$ arasinda integral almamiz gerekecek: $f(x)=1+\int_0^x e^{\sin t} dt$ olarak yazabiliriz. Bu durumda sorulan $f(\pi)=1+\int_0^\pi e^{\sin t} dt$ olur.Bunun icin de Bessel ve Strum L- fonksiyonunu oneriyor wolfram. Bilgin var mi bu fonksiyonlar hakkinda? http://www.wolframalpha.com/input/?i=int_0%5Epi+e%5E(sin+x)
Evet