Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
2.1k kez görüntülendi



merkezi  "$c$" de olan taylor serisi şudur 

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{\dfrac{d^nf(c)}{dx^n}.(x-c)^n}{n!}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(c)(x-c)^n}{n!}=f(c)+f'(c)(x-c)\\+\dfrac{f''(c)(x-c)^2}{2!}+\dfrac{f'''(c)(x-c)^3}{3!}+.......+\dfrac{f^{n}(c)(x-c)^n}{n!}+.........$

belirli kısmından alırsak belirli bir hata payı ile hesaplamış olacağız bu hata payını bulmak için;

diyelim ilk n terimi alalım ve n. dereceden taylor polinomu elde edelim..


$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{\dfrac{d^kf(c)}{dx^k}.(x-c)^k}{k!}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(c)(x-c)^k}{k!}=f(c)+f'(c)(x-c)\\+\dfrac{f''(c)(x-c)^2}{2!}+\dfrac{f'''(c)(x-c)^3}{3!}+.......+\dfrac{f^{n}(c)(x-c)^n}{n!}$


bu taylor polinomu için hata payı ;

$\boxed{\boxed{\boxed{R_n(x)=\dfrac{\dfrac{d^{n+1}f(z)}{dx^{n+1}}(x-c)^{n+1}}{(n+1)!}=\dfrac{f^{(n+1)}(c)(x-c)^{n+1}}{(n+1)!}}}}$ dır  dikkat ederseniz burada bir "$z$" var bu z nin anlamı;

$\boxed{\dfrac{d^{n+1}f(z)}{dx^{n+1}}=\dfrac{d^{n+1}f_{max}(x)}{dx^{n+1}}}$ yani $z$, n+1.dereceden f'in türevini maximum yapan değermiş


$----------------------------$

$\boxed{\boxed{\boxed{R_n(x)=\dfrac{\dfrac{d^{n+1}f(z)}{dx^{n+1}}(x-c)^{n+1}}{(n+1)!}=\dfrac{f^{(n+1)}(c)(x-c)^{n+1}}{(n+1)!}}}}$

Hata payını veren bu formülü ispatlayınız. 

$----------------------------$

$z$ için neden maximum yapan değer seçtik? Çünkü kimse hata payının az olmasını istemez en kötü ihtimali öğrenmek ister diye...


Lisans Matematik kategorisinde (7.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 2.1k kez görüntülendi

serinin indislerinde hata var.. ve sifirdan baslamasi lazim.. birde seri icindeki fonksiyon $f(x)$ yerine $f(c)$ olmasi lazim.. seri icindeki turev notasyonunu begenmedim neden $\frac{d^nf(c)}{dx^n}$ yerine $f^{(n)}(c)$  kullanmiyorsunuz..

$R_n$ deki $z$ nin anlamı o değil. Doğru şekli:

$c$ ile $x$ arasında (en az) bir $z$ değeri için, $R_n=\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}$ olur

Ortalama değer teoremindeki (...... ise $f'(b)=f(a)+f'(c)(b-a)$ olacak şekilde bir $c\in(a,b)$ vardır) gibi (zaten ortalama değer teoremi, bu teoremin $n=0$ için özel şeklidir.)

sayın @Okkes Dulgerci ben de beğenmiyorum ama bazan yanlış anlaşılıyor diye öyle yapmıştım, gerekli düzeltmeler yapıldı ve istenilen notasyon eklendi.

sayın @DoğanDonmez hocam   "c ile x arasında (enaz) bir z değeri için, $R_n=\dfrac{f^{(n)}(z)}{(n+1)!}.(x-c)^{n+1}$  olur  " demişsiniz. 

1)Neden c ile x arasında? orayı tam idrak edemedim.

2) $R_n=\dfrac{f^{(n)}(z)}{(n+1)!}.(x-c)^{n+1}$  olur , ben bu değerin maximum olması gerektiğini dedim tam anlamı ne olucak ?

3) 2)'nin devamı olarak ortalama teoremindeki c 'nin görevini tam anlamadım şuanda uğraşıyorum ve ortalama değer teoremını bır daha tekrar edıyorum.

İlgileriniz için sonsuz teşekkürler.

indisi duzeltmemissiniz :)

sımdı tamamdır .Düzeltmeler ıcın tesekkurler.

19,850 soru
21,490 cevap
72,252 yorum
571,475 kullanıcı