Taylor polinomunun hata payı formulü ispatı.

Question

merkezi  "$c$" de olan taylor serisi şudur 

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{\dfrac{d^nf(c)}{dx^n}.(x-c)^n}{n!}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(c)(x-c)^n}{n!}=f(c)+f'(c)(x-c)\\+\dfrac{f''(c)(x-c)^2}{2!}+\dfrac{f'''(c)(x-c)^3}{3!}+.......+\dfrac{f^{n}(c)(x-c)^n}{n!}+.........$

belirli kısmından alırsak belirli bir hata payı ile hesaplamış olacağız bu hata payını bulmak için;

diyelim ilk n terimi alalım ve n. dereceden taylor polinomu elde edelim..

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{\dfrac{d^kf(c)}{dx^k}.(x-c)^k}{k!}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(c)(x-c)^k}{k!}=f(c)+f'(c)(x-c)\\+\dfrac{f''(c)(x-c)^2}{2!}+\dfrac{f'''(c)(x-c)^3}{3!}+.......+\dfrac{f^{n}(c)(x-c)^n}{n!}$

bu taylor polinomu için hata payı ;

$\boxed{\boxed{\boxed{R_n(x)=\dfrac{\dfrac{d^{n+1}f(z)}{dx^{n+1}}(x-c)^{n+1}}{(n+1)!}=\dfrac{f^{(n+1)}(c)(x-c)^{n+1}}{(n+1)!}}}}$ dır  dikkat ederseniz burada bir "$z$" var bu z nin anlamı;

$\boxed{\dfrac{d^{n+1}f(z)}{dx^{n+1}}=\dfrac{d^{n+1}f_{max}(x)}{dx^{n+1}}}$ yani $z$, n+1.dereceden f'in türevini maximum yapan değermiş

$----------------------------$

$\boxed{\boxed{\boxed{R_n(x)=\dfrac{\dfrac{d^{n+1}f(z)}{dx^{n+1}}(x-c)^{n+1}}{(n+1)!}=\dfrac{f^{(n+1)}(c)(x-c)^{n+1}}{(n+1)!}}}}$

Hata payını veren bu formülü ispatlayınız. 

$----------------------------$

$z$ için neden maximum yapan değer seçtik? Çünkü kimse hata payının az olmasını istemez en kötü ihtimali öğrenmek ister diye...

Comments

serinin indislerinde hata var.. ve sifirdan baslamasi lazim.. birde seri icindeki fonksiyon $f(x)$ yerine $f(c)$ olmasi lazim.. seri icindeki turev notasyonunu begenmedim neden $\frac{d^nf(c)}{dx^n}$ yerine $f^{(n)}(c)$  kullanmiyorsunuz..

---

$R_n$ deki $z$ nin anlamı o değil. Doğru şekli:

$c$ ile $x$ arasında (en az) bir $z$ değeri için, $R_n=\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}$ olur

Ortalama değer teoremindeki (...... ise $f'(b)=f(a)+f'(c)(b-a)$ olacak şekilde bir $c\in(a,b)$ vardır) gibi (zaten ortalama değer teoremi, bu teoremin $n=0$ için özel şeklidir.)

---

sayın @Okkes Dulgerci ben de beğenmiyorum ama bazan yanlış anlaşılıyor diye öyle yapmıştım, gerekli düzeltmeler yapıldı ve istenilen notasyon eklendi.

sayın @DoğanDonmez hocam   "c ile x arasında (enaz) bir z değeri için, $R_n=\dfrac{f^{(n)}(z)}{(n+1)!}.(x-c)^{n+1}$  olur  " demişsiniz. 

1)Neden c ile x arasında? orayı tam idrak edemedim.

2) $R_n=\dfrac{f^{(n)}(z)}{(n+1)!}.(x-c)^{n+1}$  olur , ben bu değerin maximum olması gerektiğini dedim tam anlamı ne olucak ?

3) 2)'nin devamı olarak ortalama teoremindeki c 'nin görevini tam anlamadım şuanda uğraşıyorum ve ortalama değer teoremını bır daha tekrar edıyorum.

İlgileriniz için sonsuz teşekkürler.

---

indisi duzeltmemissiniz :)

---

sımdı tamamdır .Düzeltmeler ıcın tesekkurler.