iki kare toplami ve Asallar

Question

$n$ bir doğal sayı olmak üzere $n^4+4^n$ formunda kaç asal sayı yazılabilir ?

Answer 1

1) $n$ sayisi cift ise $2$'ye bolunecegi kesin.

2) $n>1$ sayisi tek ise $n=2m+1$ olarak yazalim, $m \in \mathbb N$. O zaman

$(n^2)^2+(2^{2m+1})^2$
$=(n^2+2^{2m+1})^2-2^{2m+2}n^2$
$=(n^2+2^{2m+1}+2^{m+1}n)(n^2+2^{2m+1}-2^{m+1}n)$

3) iki carpan da $>1$ oldugundan: (1.si zaten pozitif toplamlar, ikincisi:)

$n^2+2^{2m+1}-2^{m+1}n=(n-2^m)^2+2^{2m}>1$.

4) Demek ki sadece $n=1$ icin asal olabilir, o deger de $5$, yani asal, yani $1$ adet asal yazilabilir bu formda.