İntegral

Question

$\int_{0}^{\pi}e^x.sinx.dx=\frac{a+e^\pi}{2}$ olduğuna göre, $a$ kaçtır?

Answer 1

2 kere kısmı ıntegrasyon yaparsak;


$\displaystyle\int e^x.sinxdx=sinx.e^x-\displaystyle\int.cosx.e^x.dx$



$\displaystyle\int cosx.e^x.dx=cosx.e^x+\displaystyle\int sinx.e^x.dx$ üsttekinde yerine koyarsak



$\displaystyle\int e^x.sinxdx=sinx.e^x-\left[cosx.e^x+\displaystyle\int sinx.e^x.dx\right]$ dolayısıyla


$\displaystyle\int e^x.sinxdx=\dfrac{e^x[sinx-cosx]}{2}$

belirleştirirsek


$\displaystyle\int_{0}^{\pi} e^x.sinxdx=\left[\dfrac{e^x[sinx-cosx]}{2}\right]^{^{\pi}}_{_{0}}=\dfrac{1+e^\pi}{2}$ oluyor sanırım


dolayısıyla $a=1$

Comments

Teşekkürler :) Soruyu çözerken buna benzer bir seri çıkarmıştım işlem hatası yapmışım. Kısmi integrasyon yerine $\int e^x.sinx.dx=F(x)$ diyip $F(x)=\int e^x.sinx.dx+e^x.cosx.dx-\int e^x.cosx.dx-e^x.sinx.dx-\int e^x.sinx.dx$ şeklinde yazdım. Buradan da $F(x)=\frac{e^x(sinx-cosx)}{2}$ olduğunu buldum.

---

kısmı ıntegrasyon yerıne dedıgın şey kısmı ıntegrasyondan başka birşey degil sanırım:D

---

Aslında kısmi integrasyon evet ben sadece formül kullanmadım ve biraz daha serimsi (TDK'dan olmayan açıklama: seriye benzeyen) duruyor.