Question

$(14!)^2+1$ asal bir sayi mi?  

Neden asal oldugunu ya da olmadigini matematiksel olarak ispatlayiniz. 

Comments

 $n,k\in N^+$ olmak üzere, Eğer  $(1.2.3...14)^2+1=(n^{3k})^2+1=n^{6k}+1=(n^{2k}+1)(n^{4k}-n^{2k}+1)$, olarak yazılabiliyor ise, asal olmaz.  Demek ki $14!=n^{3k}$ biçiminde yazılabilir mi? diye düşünmeliyiz. $p$ asal bir sayı olmak üzere,en azından $2\leq p\leq 13$ için her $p$'nin kuvveti küp değildir. Dolayısıyla $(14!)^2+1$ asal olamaz diye düşünüyorum.

---

ben şöyle düşündüm

bir a tam sayısını alalım 0dan ve 1 den farklı olan

tüm ifadeyi a ya bölelim

$\dfrac{(14!)^2+1}{a}$  eğer sonuç bir tam sayı ise asal değildir.


$\dfrac{(14!)^2}{a}+\underbrace{\dfrac{1}{a}}_{(1\equiv (\mod a))}$


yani öyle bir  a sayısı seçicezki $14!$ yi böldüğünde elde edilen kalanın karesi ile 1in toplamı a'nın katı olucak eğer olmassa asal diyeceğiz ozaman

$14!=a.k+f$ gibi olmalı

$(14!)^2=a^2.k^2+f^2+2a.k.f$         (1 < f < a)

oldugundan

$(14!)^2+1=a^2.k^2+f^2+2a.k.f+1$ burada incelememiz gereken


$f^2+1$  a ile bölündüğündeki durumdur devamı gelmedi.

---

Ben modular aritmetik ile Wilson teoremini kullanarak buldum, daha degisik yontemler de olabilir elbet.

---

kuramsal eğitime hayır! :)

---

Sercan bey, sizin yaklaşımınızı görsek:))

---

Paylastim hocam.

Answer 1

$$14!\times 14! \equiv 1\cdot2\cdot3 \cdots 14 \times (29-14) \cdot (29-13) \cdots (29-1) \equiv 28! \equiv -1 \mod 29$$ oldugundan $$29 \mid (14!^2+1)$$ saglanir. 

Bunu daha da genellestirebiliriz: $4n+1$ asal ise $(4n+1)\mid \left((2n)!^2+1\right)$ saglanir. 

Comments

Çok güzel Sercan hocam. Zihninize ve bilginize sağlık.

---

Hocam Wilsondan geleceği belliydi ama bu kadar basit ve güzel olacağı aklımın ucundan geçmezdi :) Tebrikler