Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
780 kez görüntülendi

$\int \dfrac {dx} {1+x^{4}}$

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (96 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 780 kez görüntülendi

siz nasıl düşündünüz?

bir cevap yazıyorum.

3 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Baska benzeri bir yontem olarak su var:

$$\int\frac{1}{x^4+1}\ dx  =\frac{1}{2}\int\frac{2}{1+x^{4}}\ dx\ =\frac{1}{2}\int\frac{(1-x^{2})+(1+x^{2})}{1+x^{4}}\ dx\ $$$$=\frac{1}{2}\left(\int\frac{1-x^2}{1+x^{4}}\ dx+\int\frac{1+x^{2}}{1+x^{4}}\ dx\right)=\frac{1}{2}\left(\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}\, dx+\int\frac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}\, dx\right)$$$$=\frac{1}{2}\left(\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}\, dx+\int\frac{1+\frac{1}{x^2}}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2}\, dx\right) $$$$=\frac{1}{2}\left(\int\frac{d\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}+\int\frac{d\left(x-\frac{1}{x}\right)}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2}\right)$$$$=\frac{\arctan\left(\frac{x^2-1}{x\sqrt{2}}\right)}{2\sqrt{2}}-{\sqrt{2}}\ln\left(\frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}\right)+c$$

(25.3k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

aynını  paylar için $x^3+1$   $-(x^3-1)$  için yaptım ama biyerlere gidemedim. güzel çözüm

$\frac{1}{1+x^6}$ icin mi?

tek bır büyük "$ln$" bulmak istiyordum aşşagıda 4.dereceden var ya, yukarıdakını 3. dereceden düzenleyıp ln gibi birşeyler buluyum dedim.

birde kısmı ıntegrasyon uygulamak var, 2kere kısmı alınca alt üst dereceler eşitleniyor ama çok karışıyor.

Kup ile yine karisik gelir diye tahmin ediyorum...

0 beğenilme 0 beğenilmeme

İpucu: $$\int\frac{dx}{1+x^4}=\int\frac{dx}{1+2x^2+x^4-2x^2}=\int\frac{dx}{(1+x^2)^2-(x\sqrt{2})^2}=\int\frac{dx}{(1-x\sqrt{2}+x^2)(1+x\sqrt{2}+x^2)}$$

$$=$$

$$\int\left(\frac{Ax+B}{1-x\sqrt{2}+x^2}+\frac{Cx+D}{1+x\sqrt{2}+x^2}\right)dx$$

(11.4k puan) tarafından 

hocam daha kısası yokmu burdan yaptım ama kollarım koptu.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$(Ax^2+Bx+C)(Dx^2+Ex+F)=1+0x+0x^2+0x^3+x^4$

düzenlersek

$(AB)x^4+(AE+BD)x^3+(AF+BE+CD)x^2+(BF+CE)x+(CF)=1+0x+0x^2+0x^3+x^4$ olur


tek tek ve sıkıcı birşekilde  

$A,B,C,D,E,F$ yi tek tek bulursun 


veya 

$1+x^4+2x^2-2x^2$ yapıp

$(x^2+1)^2-2x^2$ 2kare farkından


$(x^2+1-\sqrt2x)(x^2+1+\sqrt2x)$


paydalara ayırmayı kullanarak

$\frac{1}{1+x^4}=\frac{Ax+B}{(x^2+1-\sqrt2x)}+\frac{Cx+D}{(x^2+1+\sqrt2x)}$

yukardakinden daha kısa olarak

$\frac{1}{1+x^4}=\frac{Ax+B}{(x^2+1-\sqrt2x)}+\frac{Cx+D}{(x^2+1+\sqrt2x)}$


$(A+C)x^3+(B+D+\sqrt2A-\sqrt2C)x^2+(A+C+\sqrt2B-\sqrt2C)x+B+D=1$


buradan

$A=\frac{-\sqrt2}{4}=\frac{-1}{2\sqrt2}$


$C=\frac{\sqrt2}{4}=\frac{1}{2\sqrt2}$


$B=D=\frac{1}{2}$  gelir


$\dfrac{1}{1+x^4}=\dfrac{Ax+B}{(x^2+1-\sqrt2x)}+\dfrac{Cx+D}{(x^2+1+\sqrt2x)}$ yerlerine koyarsak


$\dfrac{1}{1+x^4}=\dfrac{\frac{-\sqrt2}{4}x+\frac{1}{2}}{(x^2+1-\sqrt2x)}+\dfrac{\frac{\sqrt2}{4}x+\frac{1}{2}}{(x^2+1+\sqrt2x)}$



$\dfrac{1}{1+x^4}=\frac{\sqrt2}{8}.\dfrac{-2x+2\sqrt2}{(x^2+1-\sqrt2x)}+\frac{\sqrt2}{8}.\dfrac{2x+2\sqrt2}{(x^2+1+\sqrt2x)}$  heh şimdi entegrasyon uygulayabılırız.



$\int \dfrac{dx}{1+x^4}=\frac{\sqrt2}{8}.\int \left[\dfrac{2x+\sqrt2+\sqrt2}{(x^2+1-\sqrt2x)}\right]dx-\frac{\sqrt2}{8}.\int\left[\dfrac{2x-\sqrt2-\sqrt2}{(x^2+1+\sqrt2x)}\right]dx$  



Paydadaki ifadenin türevinin yukardakine benzemesi için her iki entegrasyondaki $2\sqrt2$ lerden birer $\sqrt2$ eksiltelim



$\int \dfrac{dx}{1+x^4}=\frac{\sqrt2}{8}.\int \left[\dfrac{2x+\sqrt2}{(x^2+1-\sqrt2x)}\right]dx-\frac{\sqrt2}{8}.\int\left[\dfrac{2x-\sqrt2}{(x^2+1+\sqrt2x)}\right]dx+\dfrac{1}{4}.\int\dfrac{dx}{(x^2+1+\sqrt2x)}+\dfrac{1}{4}.\int\dfrac{dx}{(x^2+1-\sqrt2x)}$  


dikkat ederseniz $\frac{1}{4}$li ifadeler arctan ın türevine çok benziyor

$\frac{1}{4}$ ifadeyi 2 ile çarpıp 2ye bölelim;

$\int \dfrac{dx}{1+x^4}=\frac{\sqrt2}{8}.\left[\int \dfrac{2x+\sqrt2}{(x^2+1-\sqrt2x)}dx-\int\dfrac{2x-\sqrt2}{(x^2+1+\sqrt2x)}dx\right]+\dfrac{\sqrt2}{4}.\left[\int\dfrac{\sqrt2}{(\sqrt2x+1)^2+1}dx+\int\dfrac{\sqrt2}{(\sqrt2x-1)^2+1}dx\right]$ 


ve 

$\int \dfrac{dx}{1+x^4}=\frac{\sqrt2}{8}ln(x^2+x\sqrt2+1)-\frac{\sqrt2}{8}ln(x^2-x\sqrt2+1)+\frac{\sqrt2}{4}arctan(\sqrt2x+1)+\frac{\sqrt2}{4}arctan(\sqrt2x-1)$
 

gelir.

(7.8k puan) tarafından 
20,200 soru
21,726 cevap
73,275 yorum
1,887,801 kullanıcı