$\frac{x^2-7x+14}{x-3} \le 2$ eşitsizliğini sağlayan x doğal sayısı kaç tanedir?

Question

Çözmeye çalışırken aynen şu yolları izledim , 

$\frac{x^2-7x+14}{x-3} -2 \le 0$ 

$\frac{x^2-7x+14}{x-3}-\frac{2x-6}{x-3}$

                        = $\frac{x^2-9x+20}{x-3} \le 0$

buradan sonrasında yanlış mı yapıyorum bilmiyorum cevap 5 fakat ben başka bir sonuca ulaşıyorum. 

Comments

Ustu $(x-4)(x-5)$ olarak carpanlarina ayir isaret kontrolu yap ve de $x \ne 3$ olmasi gerektigini de atlama.

Bu durumda cevap 0,1,2,4,5 olur.

---

Çarpanlara ayırdım , sonra tablo çizdim (3'ü dahil etmedim) çözüm aralığı buldum ama ordan dediğiniz sonuç gelmedi. 

0,1,2,4,5 e nasıl ulaştığınızı anlayamadım :(

---

Kokler $3,4,5$ 


5ten buyukken pozitif ve 3ten kucukken negatif. Ayrica 4 ve 5 icin sifir degerini aliyor.

Answer 1

Yorumlara ek olarak bu aciklama gerekli cevap olur diye dusunuyorum:

_____________________________________________________________________

Isaret degisimin mantigi:

Polinomlar icin:

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)(x^2+a_1x+b_1)\cdots(x^2+a_mx+b_m)$ olarak carpanlarina ayrilsin ve $x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n$ olsun.

$(x^2+a_1x+b_1)\cdots(x^2+a_mx+b_m)$ her zaman pozitiftir. Cunku hic koku yok ve surekli. Bir tane pozitif deger aldigini gostersek yeterli. Bunun icin sonsuza giderken limiti sonsuz diyebiliriz ya da $b_i$'lerin pozitif olmasi gerektigini bilerek $f(0)$ degerinin pozitif oldugunu soyleyebiliriz. 

Demek ki isaret icin son kismi atarak $g(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)$ polinomunu inceleyebiliriz. 

Burada $a>0$ secelim. Eger $a<0$ olursa tum isaretler yerdegistirir. Bu nedenle sadece $a>0$ icin yapsak yeterli.

Mantik su:  Eger $t<x_1$ demek ki $(t-x_i)$'lerin hepsi negatif olacak demek ki isaret $(-1)^n$ olacak. Eger $t>x_n$ ise $(t-x_i)$'lerin hepsi pozitif olacak isaret de pozitif olacak.

Kisacasi saymamiz gereken $t$ sayisinin sol tarafinda (kat sayisi ile birlikte) kac kok var. Eger $t$'nin solunda $u$ tane kok varsa isaret $(-1)^u$ olacak.

Bu durumda eger tek uslu bir kok uzerinden atlarsak $(-1)^{u+tek}=-(-1)^u$ olacagindan isaret degistirecek ve cift uslu bir kokun uzerinden atlarsak $(-1)^{u+cift}=(-1)^u$ olacagindan isaret degismeyecek.

Eger polinom bolmesi olsaydi yine solundaki kokleri sayacaktik. Daha da genellestirilebilir. Fakat mantigini anlamak icin bu kadari yeterli diye dusunuyorum.

Comments

Teşekkürler :)