Yoneda yardımcı teoremi nedir?

Question

Felsefi bir anlamı da var mı teoremin?

Comments

Rivayete gore NMK'nin girisinde "Yoneda Yardimci Teoremini bilmeyen giremez." yaziyormus.

---

Bence yazmıyordur. Zira insanlar öğrenmeye gidiyor.

---

O zaman soyle bir sey var ilgili: Yoneda Lemma nedir? Nasil okunur?

---

İlginç birisine benziyor.

---

J.J. Rotman " An introduction to Homological Algebra "  kitabında en iyi açıklama mevcut.

Answer 1

$\mathcal{C}$ bir kategori olsun. $A, B \in \mathcal{C}$ iki objeyse $\operatorname{Hom}(A,B)$, $A$'dan $B$'ye giden homomorfiler. Bu homomorfilerin bir küme oluşturduğu duruma kısıtlıyoruz kendimizi.

$h^A(X) = \operatorname{Hom}(A,X) \in \mathcal{Sets}$ ve $f : X \to Y$ bir homomorfi ise,

$$\begin{align}h^A(f) : \operatorname{Hom}(A,X) &\longrightarrow \operatorname{Hom}(A,Y)\\ \phi &\longmapsto f\circ \phi \end{align}$$

Bu tanimlar altinda $h^A :\mathcal{C} \to \mathcal{Sets}$ bir funktör, hom-fuktörü de denir. Yani elimizde soyut bir kategori var, ve onu objeleri kume olan (yani elemanları olan) bir kategoriye gönderiyoruz. Bu funktör sayesinde biraz daha anlıyoruz.

Kategorimiz geometrik nesneler olsun ve $A = *$ bir nokta olsun. Noktayı $X$'in herhangi bir yerine gönderebiliriz ve dolayısıyla $\operatorname{Hom}(*,X)$ aslında $X$'nın noktalarını verir.

Ya da incelemek istediğimiz şey $X$ içindeki eğrilerse $A$'yı bir eğri alırız ve $h^A(X)$ istediğimiz nesne olur.

Bu funktör tipi önemli bir funktör tipidir. Temsil edilebilir funktörler denir bunlara. Yani eğer $F: \mathcal{C} \to \mathcal{Sets}$ herhangi bir funktörse ve bir $A \in \mathcal{C}$ objesi için $F \cong h^A$ sağlanıyorsa $F$ funktörüne temsil edilebilir bir funktör denir.

Mesela şu funktörü düşünelim. $S$ herhangi sonlu bir küme olsun.  $$F: \mathcal{Grp} \to \mathcal{Sets},$$ şeklinde bir funktör tanımlayacağız. $G, H$ birer grup $\phi:G \to H$ bir grup homomorfisiyse $$F(G) = \{f:S\to G\} \text{ ve } F(\phi) : F(G)  \to F(H)  \qquad F(\phi)(f) = \phi \circ f$$ biçiminde tanımlayalım. Bu Funktör bir grup tarafından temsil edilir ve o grup da $n = |S|$ eleman üzerine serbest gruptur, ona $F_n$ diyelim. Gerçekten de $\operatorname{Hom}(F_n, G)$'den bir eleman serbest grubun temsilcilerinin gittigi yer ile $S$'den $G$'ye giden bir fonksiyon belirlerler. Yani $F(G) \cong h^{F_n}(G)$.

Yoneda önsavı eğer $F : \mathcal{C} \to \mathcal{Sets}$ herhangi bir funktörse çeşitli $A$ elemanlari için $h^A$ ile $F$'yi kıyaslamamızı sağlar. $h^A$ ile $F$ arasındaki doğal dönüşümleri (natural transformation, yani homomorfinin funktör için olanı) $F(A)$ cinsinden parametrize edebileceğimizi söyler.

$\operatorname{Nat}(h^A, F) \cong F(A)$.

Uygulama olarak $F = h^B$ alalım ve böylece $\operatorname{Nat}(h^A, h^B) \cong h^B(A) \cong \operatorname{Hom}(B,A)$. Demek ki bir funktör eğer temsil edilebilirse (yani bir $A$ için $h^A$ biçiminde yazılabilirse) o zaman onu temsil eden bir başka $B$ varsa $B \cong A$.