Question

$x$ ve $y$ sıfır olmayan tamsayılar olsun. $x$ ve $y$ nin en küçük ortak katının varlığını ve tekliğini gösteriniz.

Comments

Kanıtını ortaöğretim öğrencileri de yapabileceği için ortaöğretim kategorisine çevirdim.

Answer 1

$a$ ve $b$ pozitif tamsayılar olsun. $ab$ sayısı $a$ ve $b$'nin ortak katıdır. Demek ki $a$ ve $b$'nin pozitif tamkatları kümesi boş değilmiş. O halde bu kümenin bir en küçük elemanı vardır. Ortak katların en küçüğü tabii ki tek olmak zorunda çünkü $x\leq y$ ve $y\leq x$ ise $x=y$ olur.

Comments

teşekkür ederim.

Answer 2

iki tane olsun, $d_1,d_2>0$. En kucuk ortak kat ozelliginden $d_1\leq d_2$ ve $d_2\leq d_1$. O zaman $d_1=d_2$.

Comments

Varlığını aritmetiğin temel teoremini kullanarak mı gösteririz?

---

O nedir bilmiyorum ama en kucuk ortak kat $d$ ise ve $c|x$ ve $c|y$ ise $d|c$. En kucuk ortak katin ozelligi.

---

$x\mid c$ ve $y\mid c$ ise $d\mid c$.

---

en küçük ortak katın özelliği en küçük olması. bölme gibi işlemlere gerek yok. $x\leq y$, $y\leq x$ $\Rightarrow$ $x=y$.

---

Tanımını unutmuşum galiba. Haklısın, bu daha mantıklı tanım için.