Poincare Sanısı

Question

Uzmanların bile zor anladığı ,7 büyük milenyum problemlerinden biri olan ve  Grigori Perelman 'ın çözdüğü bu problem nedir ? çözümü nasıldır?

problem için link

çözümü için link (ingilizce)

Comments

sitede poincare polinomu gibi şeyler mevcut ama bununla alakası yok sanırım.

---

Sen tanımdan ne anladın?

---

topolojıde çok aşina olmadığım için zaten soruda burda anlatılmak istenen tam olarak neydi.Ben ,fiziksel olarak 3 boyutlu uzaydaki kenarsız cisimlerin bir noktada (bir şekilde) büzüldüğünü ama araba tekerindeki gibi ortalarında delik var ise kesinlikle büzülemiyecegini anladım.Anladım derken yazanı kafamda tarttım ve deneylemeğe çalıştım tam olarak algılamak istediğimden sizlerle paylaştım.Tabi gelen cevaplar bu tarz mantıksal olursa mutlu olurum yani  "yok bilmem ne uzayının g cisminin k konjüktürü uyarınca" gibi değil . 

---

Aslında Perelmen'in kendi çözümünü (39 safya Kasım 2002) ekleseniz daha iyi olur. Bu amerikada iken dersine giren hocasının ( Gang Tian) çözümden anladıkları ( ifade kendisine ait bana değil)

Answer 1

Burak Ozbagci'nin Matematik Dunyasi Dergisi 2003 Kis Sayisindaki yazisindan:

Bir portakalin etrafina gecirilmis bir lastik dusunelim. Bu lastigi koparmadan ve portakalin yuzeyinden ayrilmasina izin vermeden portakalin uzerinde herhangi bir noktaya dogru buzulmesini saglayabiliriz. Ama ayni lastigin bir simitin uzerine simiti bir kere saracak ve ortasindaki deliktan bir kere gececek sekilde gecirildigini dusunelim. Bu durumda bu lastigi koparmadan veya simiti bolmeden yuzey uzerindeki bir noktaya buzmek mumkun degildir. 

Demek ki bir portakalin yuzeyi (ile) bir simitin yuzeyi "topolojik" olarak ayni degildir. Bu ozellik, iki boyutlu bir kureyi (portakalin yuzeyini) diger yuzeylerden ayiran bir ozelliktir. Yani, bu ozellik kureyi "topolojik olarak" belirler.

Simdi uc boyutlu bir kure dusunelim. Uc boyutlu kure, dort boyutlu Oklid uzayinda merkeze olan uzakligi birim olan noktalar kumesi olarak tanimlanir, yani 

$$\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x^2 + y^2 + z^2 + t^2 =1 \}$$

olarak. Bunu, iki boyutlu kurenin taniminin genellestirilmesi olarak algilayabilirsiniz. 

Poincare nerdeyse bir yuzyil once su soruyu sordu: Iki boyutlu bir kureyi diger yuzeylerden ayiran lastigin bir noktaya buzulebilme ozelligi, acaba uc boyutlu kureyi de diger uc boyutlu uzaylardan ayiran bir ozellik midir? Yani eger uc boyutlu bir "manifold" ustunde gerilmis olan herhangi bir lastik koparilmadan bir noktaya buzulebiliyorsa, bu uzay uc boyutlu kurenin "topolojik bir kopyasi" midir?

Poincare sanisi bu son sorunun cevabinin evet oldugudur. Burak Ozbagci'nin yazisina http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/ adresine gidip 2003-I sayisina bakarak ulasabilirsiniz. Yazinin yazildigi tarihte bu soru acik bir soruydu, yani cevabin evet ya da hayir mi oldugunu kimse bilmiyordu. Birkac sene sonra Perelman, aradan gecen neredeyse yuzyil sonunda bircok matematikcinin o zamana kadar yapmis oldugu calismalara son katkiyi yapti ve cevabin evet oldugunu kanitladi. Matematik Dunyasi 2006-II sayisinda da daha ayrintili bir sekilde bu problem ve cevabi ele aliniyor. Ben o zaman lisedeydim, pek anlamamistim o yaziyi ama cok heyecanlanmistim.

Comments

daha öncede okumuştum hocam anlamadığım şey lastiği büzüyoruz ama nasıl ?

bir balonu alıp topa geçirip , ucu sivri olmayan bir kalemi alıp top a geçirdiğimiz lastiğe bastırıp belirli bir yönde çevirdiğimizdeki gibi bir büzme mi?

---

bu arada cevabınız için müteşekkirim.Çok sağolun beyfendi.

---

Rica ederim beyfendi.

Balonla yaptigin seyi anlayamadim. Soyle dusun: Portakalin uzerine cizdigin bir cemberi (ya da herhangi bir sekli) kucultup kucultup tek bir noktaya getirebilirsin. Surekli (continuous) bi sekilde kuculen bir cemberi goz onune getirebilirsin degil mi? Ama bunu bir simit uzerinde yapmak istersen her zaman basarili olamazsin. Tabii ki simitin uzerinde minicik kucuk bir cember cizersen bu cemberi gittikce kucultup bir noktaya donusturebilirsin. Ama eger cizdigin cember simiti bir kere saracak sekilde cizilmisse ne kadar kucultmeye calisirsan calis, o cember hep oraya sarili kalacaktir ve bir noktaya donusturulemeyecektir.

Daha kucuk boyutta dusunmek istersen duzlemi al. $\mathbb{R}^2$'de kendine bir baslangic noktasi belirle ve bu baslangic noktasinda ayakta durdugunu dusun. Elinde cok uzun bir ip olsun. Bu ipin iki ucunu bagla. Bundan sonra ip kapali bir egri gibi dusunulecek (dilersen bir cember gibi dusun). Sonra ipin bir noktasindan tut ve bir arkadasina ipi istedigi yere goturmesini soyle. Arkadasin ipi nereye, nasil gotururse gotursun sen ipi kendine dogru cekip tekrar elinde toplayabilirsin. Simdi arkadasinin ipi yine bir yere goturdugunu dusunelim. Ama bu sefer baska bir arkadasin gelip tam ipin ortasinda kalan bolgeye upuzun bir kazik diksin. Simdi sen bu ipi nasil cekersen cek, tam ortada bir kazik oldugu icin ip hep o kaziga takili kalacak ve asla tekrar toplayamayacaksin elinde.

---

Ek açıklamanız için ayrıyetten teşekkürler iyi çalışmalar hocam.

---

Perelmen o zamana kadar yapılmış tüm çalışmalara son katkıyı yaptı demek bence Perelmenin çözümünü biraz hafife almak gibi ama ne yazıkki kendisi matematikçilerin çoğu tarafından bir bakıma küçük görülmektedir sebebini anlamasamda son bir ek ilk makale yazıldığında sorunun çözümü yapılmıştı ( çözüm 2002) 

---

Perelman'in cozumunu hafife almak degil, matematigin kollektif bir calisma urunu oldugunu vurgulamakti amacim. (Demin yorumu goremeyince ozel mesaj attim.)

"Ilk makale yazildiginda cozumun dogrulugu bilinmiyordu." diye duzeltiyim.