Question

$a,b,c$ tek sayilar iken $ax^2+bx+c$ denkleminin rasyonel koku olabilir mi?

Comments

Mümkün degil kökler toplamı -b/a çarpımı ise c/a  a b c tek oldugundan kokler toplamı ve çarpımı aynı zamanda tek olamaz çünki kokler carpımı tek ıse toplamları çift olur çelışkı olur tabi bu rasyonel sayılar için

---

Fakat -b/a ve c/a tam sayi olmak zorunda degil.

---

doğru  $\in$$\dfrac{1}{a}\mathbb{N}$ için benimki doğrudur ama $\in\mathbb{R}$ için dexor hocanın kanıtı daha olumlu geliyor .

Answer 1

$ax^2+bx+c=0$ denkleminin rasyonel kökü olması için $\sqrt{\Delta} \in Z$ olması lazım. O halde $b^2-4ac=x^2$ diyebiliriz. Bu durumda $b^2-x^2=4ac$ olur. $x$'in kesinlikle tek sayı olması gerektiğini $b^2$ tek sayısından $x^2$ tam sayısını çıkardığımızda çift tam sayı bir sonuç çıkmasından anlayabiliriz. O halde $(b-x)(b+x)=4ac$ olur. $b-x$, $b+x$ çift sayı olacağından $b-x=2a$ ve $b+x=2c$ olmalı veya $b-x=2c$ ve $b+x=2a$ olmalı. O halde $(b+x)-(b-x)=2x=2(a-c)$ olmalı. $x=a-c$ olduğundan ve $x$ tek sayı olduğundan $a$ veya $c$'den biri mutlaka çift sayı olmalıdır.

Comments

Neden $\sqrt \Delta \in \mathbb Z$ olmali.

---

Tek sayılar dediğimize göre $a,b,c \in Z$ olacak. Kök rasyonel olsun istiyorsak $\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ ifadesinde irrasyonel ifade olmayacak. Bu durumda $\sqrt{\Delta} \in Q$ olacak fakat başta $a,b,c \in Z$ demiştik o halde $\sqrt{\Delta} \in Z$ olacak.

---

Tamamdir. Ikinci sorum $b-x=2a$ ve $b+x=2c$ olmak zorunda mi. $b-x=2u$ ve $b+x=2v$, oyle ki $uv=ac$ seklinde de olamaz mi? Yani daha cok secenek.

---

Pekala mantıklı. Fakat diyelim ki $b-x=2u$ ve $b+x=2v$ bu şartlar altında yine $u$ veya $v$ tam sayılarından biri çift olacak. $uv=ac$ olduğuna göre $ac$ de çift olacak. Sonuçta yine $a$ veya $c$ çift olacak.

Answer 2

$ax^2+bx+c$ denkleminin rasyonel kökü olabilmesi için $\sqrt{\Delta} \in Z$ olmalıdır. $\sqrt{\Delta}=\sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{b-2\sqrt{ac}}.\sqrt{b+2\sqrt{ac}}$ olduğundan $\sqrt{\Delta} \in Z$ olabilmesi için $b-2\sqrt{ac}$ ve $b+2\sqrt{ac}$ ifadelerinin tam kare olması lazım. Bu ifadelerin tam kare olması ise $ac=uv$ olacak şekilde $u+v=b$ olmalıdır. Fakat $ac$ tek ise $u$ ve $v$ de tek olacağından $b=u+v$ eşitliğinde $b$ çift olmak zorunda olur bu da baştaki önermeyle çelişir.

Comments

Bunu da bugün hocama sordum o da bu şekilde çözdü.