$End(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}) = ?$

Question

$f: \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ seklinde grup homomorfizmalari nelerdir?

Comments

Soruyu ilk basta $Aut(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ basligi ile sormusum, simdi degistirdim.

Answer 1

$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ grubu tektürlü bölünebilir bir grup olduğu için birimden başka otomorfizması yoktur.

Düzeltme: Bu grup bölünebilir ama tek türkü bölünebilir değil. Zaten tek türkü bölünebilir olmak da otomorfizmanın tek olmasını gerektirmez.

$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=0=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}$

eşitliği tek türkü bölünebilirlik iddimın safsata olduğunu gösteriyor.

Rasyonel sayılar üzerinde tanımlı $x\longmapsto \frac{x}{n}$ fonksiyonu da ikinci iddiamın safsata olduğunu gösteriyor.

Ben yaniti buldum. $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ grubunun $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ kısmının endomorfizmalarını düşünmek gerek. Ve bu altgruptan bir elemanın başka bir altgruptan elemana gönderilemeyeceğini gözlemlemek gerek.

Comments

Ne yazdigimi simdi farkediyorum. Ben endomorfizmalari sormak istemistim. Yeni bir soru mu sorayim, yoksa basligi mi duzelteyim?

Ozur dilerim.

---

 $x\mapsto -x$ otomorfizma olmuyor mu?

---

Hocam, çok haklısınız. Zaten yorumunuz da $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ grubunun tek türlü bölünebilir iddiamın ne kadar şıpınişi olduğunu gösteriyor. Yanıtımı düzelteyim.

---

Ahah basligi degistiriyorum o zaman :)

---

Bir grubun tek türlü bölünebilirliği ne demek? yada ingilizcesi.

---

uniquely divisible. Yani hem divisible hem de her $y$ için $nx=y$ özelliğini sağlayan $x$ bir tane. Prototip $\mathbb{Q}$.

---

Duzeltme: Tek turku bolunebilir, tek turlu bolunebilir olacak sanirim. Bu vatani bolmek isteyenlere firsat vermeyelim lutfen.