Ters fonksiyonların diferansiyelinin formülizasyonu

Question

$f\left( x_{0}\right) =y_{0}\Leftrightarrow f^{-1}\left( y_{0}\right) =x_{0} \\\dfrac {d} {dx}\left( f^{-1}\right) \left( y_{0}\right) =\dfrac {1} {f'\left( x_{0}\right) }$

her ters fonksiyonun diferansiyelinin bu formülle açıklanmasını nasıl ispatlarız yani bunu nasıl formulize etmişler yeniden nasıl üretebiliriz. teşekkürler saygılar

Answer 1

Bunun güzel bir geometrik mantığı var.

$y=f(x)$ in $(a,b)$ deki teğetinin eğimi $m\neq0$ olsun.

$y=f^{-1}(x)$ eğrisi, $y=f(x)$ eğrisinin $y=x$ doğrusuna göre yansıması olduğuna göre, onun $(b,a)$ daki teğeti de $y=f(x)$ in $(a,b)$ deki teğetinin $y=x$ doğrusuna göre yansıması olacaktır.

Ama, $y=x$ doğrusuna göre yansıma, bir doğrunun eğimini, ($0,\infty$ durumları dışında) çarpmaya göre tersine çevirir( nedeni çok basit, bulabilirsin)

Öyleyse $(f^{-1})' (b)=\frac1{f'(a)}$ "ispatlanmış" olur.

Comments

çok teşekkür ederim

Answer 2

Teorem: $A\subseteq\mathbb{R}$ küme, $f:A\to\mathbb{R}$ bijektif bir fonksiyon, $x_0\in A\cap D(A)$; $f$, $x_0$'da türevlenebilir, $f'(x_0)\neq 0$ ve $f(x_0)=y_0$ olmak üzere

$$(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$$

İspat için ipucu:

$1)$ $f \text{ bijektif}\Rightarrow (f(x_0)=y_0\Leftrightarrow x_0=f^{-1}(y_0))$

$2)$ $x\in A\Rightarrow f(f^{-1}(x))=x$

$3)$ $\text{Zincir Kuralı}$

Comments

Bir itirazım var:

Bu adımlar, $f^{-1}$ TÜREVLENİRSE, 

 $\left(f^{-1}\right)'(y_0)=\frac1{f'(x_0)}$ 

olduğunu ispatlar.

 $f^{-1}$ in $y_0$ da türevlenebildiğini ispatlamaya yetmez.

---

Haklısınız. Dersten sonra düzeltirim.

---

http://matkafasi.com/62205/turev

---

$f:[a,b]\to\mathbb{R}$ fonksiyonu türevlenebilir ve bijektif olsun. Bijektif olduğu için $y_0\in\mathbb{R}$ ise $f(x_0)=y_0$ olacak şekilde en az bir tane $x_0\in [a,b]$ vardır. $f'(x_0)\neq 0$ olsun. Türevlenebilir olduğu için $f$ fonksiyonu tanım kümesinin her noktasında süreklidir. O halde $$x\to x_0$$ ise $$f(x)\to f(x_0)=y_0$$ olacaktır. Buradan da

$$(f^{-1})'(y_0)=\lim\limits_{y\to y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\lim\limits_{y\to y_0}\frac{f^{-1}(f(x))-f^{-1}(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}$$$$=$$$$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac{1}{f'(x_0)}$$ bulunur.

---

Hocam, son satırın en solundaki $(f^{-1})'(y_0)$ olacak herhalde.

---

Haklısınız hocam. Düzelttim. Teşekkür ederim.

---

Burada, bir de, $y\to y_0$ iken $x\to x_0$ olduğunu (limitte değişken değişikliği yaparken)  kullanıyoruz. 

O da, bir aralıkta sürekli ve 1-1 fonksiyonların tersinin de sürekli olması ile sağlanıyor.

Answer 3

$f$ ve  $f^{-1}$ türevlenebilsin,

$f^{-1}\circ f=x$  oldugundan hertarafın türevini zincir kuralına göre alırsak;

$$\left[\dfrac{d}{dx}\left(f^{-1}\right)\circ(f(x))\right]f'(x)=1$$

dolayısıyla;

$$\boxed{\dfrac{d}{dx}\left(f^{-1}\right)(y)=\dfrac{1}{f'(x)}}$$