İLGİNÇ BİR TOPLAM

Question

$\ lim _{n \to \infty} \sum _{k=1}^n  \frac {1}{k^2}$ toplamında paydadaki $k$  sayılarının asal  çarpan sayısı çift olanlarının  atılmasıyla elde edeceğimiz yeni toplamın sonucunu bulabilirmiyiz? 

 yani ; 

$\mathbf{N}- \big\{ k : k=asal\ çarpan \ sayısı \ çift \ olanlar \big\}$ kümesinin elemanlarının çarpmaya göre terslerinin kareleri toplamının sonucunu elde edebilirmiyiz

Comments

yani soru şu:

$$\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{|\mu(n)|}{n^2}=?$$

Ek: Sorudaki toplam bu değil, ama bu toplamı bulmak yeter sanki.

---

bu toplamda ki kesrin payında ki fonksiyon hakkında ayrıntılı konu anlatımı ve uygulamalarını nereden bulabilirim ?

---

bu fonksiyonun adı nedir , ne anlama geliyor? verdiğiniz şekli ile çözüm geliyor mu ? yoksa çözümü oldukça zor olan bir toplammıdır?

---

Mobius mu fonksiyonu diye geçer.

http://matkafasi.com/5284/%24-sum-limits_-n-1-infty-frac-mu-n-n-s-%24-toplami-nedir?show=5284#q5284

http://matkafasi.com/5280/mobius-fonksiyonu?show=5280#q5280

http://matkafasi.com/4507/genellestirilmis-euler-carpimi?show=4507#q4507

http://matkafasi.com/5280/mobius-fonksiyonu?show=5280#q5280

http://matkafasi.com/5281/mobius-ters-yuz-etme-formulu?show=5281#q5281

http://matkafasi.com/5290/mobious-fonksiyonunun-carpimsal-olusu?show=5290#q5290

http://matkafasi.com/5286/%24-sum-limits_-d-n-mu-d-%24-toplami-nedir?show=5286#q5286

---

hic yorum yapamayim diye hepsini paylasmis ya la :)

---

nasrettin hoca da demiş ki: ama bu bana engel olur mu?

---

kendisiyle bir bagim olabilir, bi arastirmak lazim. 

Answer 1

$1+ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...=(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{8^2}+...)(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{9^2}+\frac{1}{27^2}+...)(1+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{25^2}+\frac{1}{125^2}+...)(1+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{49^2}+\frac{1}{343^2}+...)(1+\frac{1}{P^2}+\frac{1}{(P^2)^2}+...)...$

Burada $P$ rastgele asal sayıdır. Eşitliğin sağındaki her parantez içi sonsuz toplam birer geometrik seridir , bu durumda her parantez şöyle yazılabilir ;

$[ \frac{1}{1-(\frac{1}{2^2})}] [\frac{1}{1-(\frac{1}{3^2})}] [\frac{1}{1-(\frac{1}{5^2})}]...[\frac{1}{1-(\frac{1}{P^2})}]...=1+ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...= \frac{\pi^2}{6}$  ,  

şimdi Euler'in bulduğu şu seriyi gözlemleyelim ; 

       $1+ \frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+ \frac{1}{5^4}+...= \frac{\pi^4}{90}$  

$4$ kuvvetlerde  : kareler toplamı için yaptığımız transforme işlemini tekrar yaparak;  

$[ \frac{1}{1-(\frac{1}{2^4})}] [\frac{1}{1-(\frac{1}{3^4})}] [\frac{1}{1-(\frac{1}{5^4})}]  [\frac{1}{1-(\frac{1}{7^4})}] ...=1+ \frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+...=\frac{\pi^4}{90}$  

burada şunu gözlemlemek kolay sol tarafta iki kare farkları var mesela ; 

          $[\frac{1}{1-(\frac{1}{5^2})}] [\frac{1}{1+(\frac{1}{5^2})}=  [\frac{1}{1-(\frac{1}{5^4})}]$

   şimdi bütün köşeli parantezleri çarpanlarına ayıralım ve ilk başta verdiğimiz kareler toplamı ile verilen seri ile bölelim  şunu elde ederiz : 

$[\frac{1}{1+(\frac{1}{2^2})}] [\frac{1}{1+(\frac{1}{3^2})}] [\frac{1}{1+(\frac{1}{5^2})}] ...=\frac{\pi^2}{15}$.

 şimdi geriye doğru gidelim . Bir eksi yerine bir artı içeren bu ifadelerin her biri de bir serinin toplamıdır. Gerçekte her seri orjinal seriye çok benzer ; tek fark şimdi işaretler alterne eder:

$[1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}-\frac{1}{8^2}+...] [1-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{9^2}-\frac{1}{27^2}+...] [1-\frac{1}{5^2}+\frac{1}{25^2}-\frac{1}{125^2}+...]...=\frac{\pi^2}{15}$

       Köşeli parantez içindeki serileri çarparsak işaret değişiklikleri hariç terimler orjinal serinin aynısıdır. Eğer bir terim köşeli parantez içindeki çift sayıda terimin çarpımıyla oluştuysa , hala pozitif işaret alacak, tek sayıda terimin çarpımıyla oluştuysa negatif işaret  alacaktır. böylece çarpım şudur:

$1-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}-\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}-\frac{1}{7^2}-\frac{1}{8^2}+\frac{1}{10^2}-\frac{1}{11^2}-\frac{1}{12^2}-\frac{1}{13^2}+...= \frac{\pi^2}{15}$ 

 bulduğumuz son seriyi orjinal ilk seriden çıkaralım ve ve sonucun yarısını alalım ; 

 bu durumda elde edilen seri 

 $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{12^2}+\frac{1}{13^2}+\frac{1}{17^2}+\frac{1}{18^2}+\frac{1}{19^2}+\frac{1}{20^2}+\frac{1}{23^2}+...=\frac{1}{2}[\frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi^2}{15}]=\frac{\pi^2}{20}$.  

Bu seride  , asal çarpanlarının sayısı çift olan bütün doğal sayılar paydadaki  doğal sayılar arasından atılmış oldu

   

                                                     

Answer 2

süper gece matematiçi geyiği bir başka oluyor -:))      

  Mobius fonk.kullanmadan sonucu $\pi^2/20$ elde   ettim doğru mu?

Comments

Şafak hocam o zaman verdiğiniz toplami bulmak kolay olmasa gerek :-) o zaman bu verdiğiniz toplam genelleştirilmiş Euler carpimina esitleyebilsem sanırım aynı sonucu bulacağım    Mobius fonk. Ogreneyim bakalım neler gizli içindebu fonksiyonun