Homoteti nedir?

Question

Ben bu kelimeyi hayatimda ilk defa dun duydum. Nedir, ne degildir? 

http://matkafasi.com/58335/

http://matkafasi.com/56839/

http://matkafasi.com/58600

Bunlar sitede yer alan uc homoteti sorusu. Okudum ama buradan okuduklarimi anlamadim. Eger buraya guzel cevaplar gelirse, bundan sonra sitede sorulan her homoteti sorusunun altina bu cevaplari yorum olarak gondeririz -ki soruyu soran kisi buradan homotetiyle ilgili ufkunu acar belki. Sitenin amaclarindan biri de bu. Hakkimizda kisminda "Matematik Kafasi nedir?" basliginin altinda oyle yaziyor en azindan. Bir bilgi dagarcigi olusturmak amaclardan bir tanesi.

Ek: Yukarida listelenmis ilk soru homotetilerin bileskesinin homoteti oranini soruyor. Soruyu soran kisiye "homoteti nedir" diye sordum bilmedigim icin, onun da bilmedigi ortaya cikti. Bilmemek kotu bir sey degil tabii ki, burayi ogrenmek icin okuyoruz hepimiz. Ama cok acik ki homotetinin ne oldugunu bilmeden homotetiyi ya da homoteti oranini hesaplayamayiz. Bana "Sercan hangi sehirde yasiyor?"  diye sorsaniz, ben bu soruyu cevaplayamam cunku Sercan'i tanimiyorum. "Su homotetiyi hesapla bi zahmet" derseniz, bunu da yapamam cunku homotetinin ne demek oldugunu bilmiyorum.

Editorlerin israrla "sorulariniza yorum katin" demelerinin altinda da bu tarz durumlari engelleme istegi yatiyor anladigim kadariyla. Onlar da herkes siteden olabildigince fazla yararlansin istiyorlar bence. Eger hicbir sey bilmiyorsak bile "Gercekten bu konuda hicbir sey bilmiyorum, ona gore anlatabilir misiniz" diyebilmeliyiz ki hem biz cevaptan daha cok yararlanabilelim, hem de soruyu cevaplayan kisi "Aaa bu kisi konuyu bilmiyor, en bastan anlatayim" diyip ona gore cevaplayabilsin. Yukaridaki listedeki ikinci soruya bakarsaniz eger, sorunun altinda iki tane cevap var ama ben cevaplari anlamadim (cunku homoteti nedir bilmiyorum) ama soruyu soranin da bu cevaplari anladigini dusunmuyorum. Eger bu soruda "Ben homoteti nedir bilmiyorum, ona gore anlatabilir misiniz" gibi bir yorum olsaydi, soruyu cevaplayanlar da "Tamam, bak simdi, homoteti sudur. Bu sorunun bize sormak istedigi su. Ve bu sekilde cevapliyoruz." seklinde cevaplayabilirlerdi. Ama hicbir yorum olmadigi icin, (bence dogal olarak) hem dexor, hem de Metok uzun bir aciklama yapmamislar (ben olsam ben de yapmazdim cunku soruyu soran kisinin en azindan homotetinin tanimini bildigini varsayardim).

Arada oluyor boyle seyler, olacaktir da. Boyle birbirimizi uyaririz arada. Ama valla cok guzel site ya, iyi kullaninca cok daha guzel oluyor ben cok yararlaniyorum.. Canim benim.

Comments

Bu ucuncu sorunda gordukten sonra ben de merak ettim ve sormak istedim, ama detayli soracak vaktim yoktu. Iyi olmus bu soru. 

---

Bu arada benim adim da gecmis :) Tabi dunyadaki tek Sercan ben olmasam da, Sercan sinifinin bir elemaniyim :)

Answer 1

Düzlemde $M$ bir sabit nokta $k \in \mathbb{R}$ olmak üzere $P'=M+k(P-M)$ eşitliğini sağlayan $P'$ noktasına $P$'nin $M$ merkezli $k$ oranlı homotetiği denir.

Bir dogru veya bir çemberin homotetiği bir doğru veya bir çemberdir.

Bütün homolog doğrular birbirine paraleldir.

Bütün homolog açılar birbirine eşittir.

Bütün doğru parcalarının oranı $k$ dr. Şekiller $k$ oranında birbirine benzerdir.

Comments

Resimdeki yazıları yazmak gerekmez mi acaba?

---

Resimde anlatilan genel yapiyi yazdim zaten..resim eklememin sebebi daha gorsel gozlemlenmesiydi..:)

Ama cevap yetersiz geldiyse aksama dogru daha ayrintili duzenlemeye calisirim tabii ki..

---

Bence oradaki savlardan biri de ispatlansa daha iyi anlasilir. Homolog dogrular neden paraleldir, acilar birbirine neden esittir. Bunlar burada ya da baska bir soruda ispatlansa guzel olur.

---

Sagol merve kaya ama bu beni cok tatmin etmedi acikcasi. Tamam, boyle tanimlanan $P'$ noktasina $P$'nin $M$ merkezli homotetigi diyoruz. Peki neden boyle tanimliyoruz da boyle seylere homotetik diyoruz?

Derdimi baska bir ornekle anlatmaya calisiyim. $r> 0$ olmak uzere $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $ seklinde tanimlanan denklemin cozum kumesine $(a,b)$ merkezli ve $r$ yaricapli cember diyoruz. Tamam da bu bana cemberin ne olduguyla ilgili hicbir ipucu vermiyor. Benim istedigim tanim "$(a,b)$ noktasina esit uzaklikta ($r$ uzaklikta) olan $(x,y)$ noktalarinin kumesine $(a,b) merkezli, $r$ yaricapli cember diyoruz." gibi bir tanim. Cunku cember aslinda bu. Denklemi Pisagor teoremi falan filan kullanarak cikariyoruz bir sekilde. Ama cemberin bir intrinsic tanimi var, bu denklemden bagimsiz.

Homoteti icin boyle bir sey soz konusu mudur bilmiyorum. Belki hicbir geometrik anlami yok gercekten ama insanlar zevk olsun diye bu noktalari calismak istemislerdir.

Ben simdi bunu en iyi cevap seceyim. Daha iyi bir cevap gelirse kararimi degistirip, yeni gelen cevabi en iyi cevap secerim. Bu cevabi degistirme ama, kalsin. Bu da lazim sonucta.

---

Haklisin hocam bu beklentini tatmin edici bi cevap degil..Basma kalip kitaplarda yazan icerik sadece..dedigin kadar ayrintili ben de bilmiyorum :)