Konveks çokgenlerde, köşegenler çokgenin iç bölgesini en çok kaç farklı ayrık bölgeye ayırır.

Question

$n$ bir dogal sayı ve $n\geq4$ olmak üzere konveks bir çokgenin bütün köşegenleri çizildiğinde,çokgenin iç bölgesi,en çok kaç farklı ayrık bölgeye ayrılır.

$n$ kenarlı bir çokgenin $\frac{n.(n-3)}{2}$ adet köşegeni olduğunu biliyoruz. $n=4$ için dört bölgeye, $n=5$ için $11$ bölgeye ayrılıyor. Peki $n=n$ için durum nedir? Bir formül verilebilir mi?

Answer 1

$n\ge4$ olmak üzere $n$ kenarlı bir konveks çokgen oluştuğunu varsayalım ve çokgenin herhangi üç köşegenin bir noktadan geçmesin. Böylece maksimum alt bölge sayısını elde edeceğiz. Şu gözlemlerle bir kanıt verilebilir :
Başlangıçta 1 bölge var. Çizilen her köşegenin bölge sayısını 1 arttırdığını gözleyebiliriz. Ayrıca herbir köşegen kesim noktasının da alt bölge sayısını 1 arttırdığı gözlenebilir. Köşegen sayısı $C(n, 2)-n$, köşegen kesim noktaları sayısı $C(n, 4)$ olduğundan oluşan toplam alt bölge sayısı
$$1+C(n,4)+C(n,2)-n$$ bulunur.