Question

$G(k,n)\mathbb{F_q}$ varyetesinin eleman sayısı nedir?

Comments

ilk sira icin: $q^n-1$
ikinci sira icin: $q^n-q$ (lineer bagimlilari almadik)
$\vdots$
$k.$sira icin $q^n-q^{k-1}$ (ayni sekilde lineer bagimsizlari almiyoruz)

geriye $n-k$ tane kaldi.. bunlar ilk $k$ tane tarafindan olusturulacak vektorler olmali.. yani $(n-k)q^k$ secenek de burdan gelir.. 

Cevap:$(n-k)q^k(q^n-1)(q^n-q) \cdots (q^n-q^{k-1})$

bunu yazacaktim ama bir eksiklik var burda galiba, lineer bagimlilar aralarda da olabilir..

---

Yani soru aslında $\mathbb{F}^n_q$ içinde $k$ elemanlı lineer bağımsız kümelerin sayısı değil. Farklı bazlar aynı uzayı verebilir.

---

tamamdir soruyu yanlis anlamisim.

---

umarim olmustur bu sefer...

Answer 1

$\frac{|GL(n,F_q)|}{q^{k(n-k)}|GL(k,F_q)||GL(n-k,F_q)|}$. Binom gibi geliyor...


Genelden baslayalim. Sonra
$\bigg(\begin{matrix}A_{k\times k} &B_{k\times n-k}\\0&D_{n-k\times n-k}\end{matrix}\bigg)$
formundan $A,D$ gereksiz kaldi. Onlara bolelim. Sifir olan kisimda bosaymis $q^{n(n-k)}$ da ordan gelir.

Comments

Doğru yanıtın açıklaması yalapşap olduğu için +oy'a rağmen en iyi cevap seçmedim.