Mertebesi $p^{2}$ olan grubun değişmeli olduğunu gösteriniz.

Question

$p$ asal sayı olmak üzere.

Answer 1

Merkez $1$, $p$ ya da $p^2$ elemanli olabilir.

Sylow gruplarinin merkezi $1$ elemanli olamaz. Merkezi $p^2$ elemanli ise zaten grup degismeli demek.

Geriye kalan merkezin $p$ elemanli olmayacagini gostermekte. Bunun icin
1) $|G/Z(G)|=p$ olacagindan bolum grubu dongusel olur.
2) Merkezi dogusel olan grup abel olur. Fakat merkezin $p$ elemanli olmasi kabulu abellik ile celisir.


Burda ispatlanmasi gereken iki kolay teorem (?) var. Biri Sylow gruplarinin merkezin $1$ elemanli olamayacagi. Digeri ise  merkezi dogusel olan grup abel olacagi. Bunlarin ispatinin sitede olmasi gerekli. 
____________________________________________________
Duzenleme: Cumlenin eksik anlasilmasi. Onemsiz bir duzenleme.

Comments

Soruyu Diğer soruya vermiş olduğun cevap icin sordum. Bu soruda sitede var olabilir. Cepten yazınca da diğer soruyla iliskilendiremedim. Sınıf denkleminden yararlanarak görmekte mümkün. Teşekkürler.

---

Bu sorudan var mi bilmiyorum da, merkezi dongusel olan grubun abel olacagi vardi.

Answer 2

$p$, bir asal sayı, $G$ bir grup ve $|G|=p^2$ olsun. $|M(G)| \geqslant p$ dir. Lagrange Teoremi'inden $|M(G)|=p$ veya $|M(G)|=p^2$ dir. $|M(G)|=p$ olsaydı, $|G/M(G)|=p$ ve Lagrange Teoremi'nin sonucu gereği $G/M(G)$ nin devirli olması gerekirdi. Ama eğer $|G/M(G)|>1$ ise $G/M(G)$ devirli olamaz. O halde $|M(G)|\neq p$; dolayısıyla $|M(G)|=p^2=|G|$,$M(G)=G$ ve $G$ bir abel grubudur. 

(Lagrange Teoremi: $G$ bir sonlu grup, $H \leq G$ ise $H$ nin mertebesi $G$ nin mertebesini böler)

($G$ nin merkezi; $M(G)=\{ x\in G : \forall y\in G$ $ için$ $ xy=yx\}$)

Answer 3

Biraz temsil kuramı (representation theory)  bilenler şu kanıtı çok hoş görebilirler;

$p$ bir asal olmak üzere, $G$ mertebesi $p^2$ olan bir grup olsun.$G$'nin indirgenemez temsillerinin dereceleri de $d_{1},....,d_{s}$ olsun.Şunu rahatlıkla yazabiliriz;

$p^2=d_{1}^2+...+d_{s}^2 $

O zaman $d_{i}$'ler $p^2$yi bölmek zorunda,3 ihtimal var: $1,p,p^2$.Ama elimizde derecesi 1 olan aşikar temsilimiz de olduğuna göre bütün $d_{i}$'ler 1 olmak zorunda,bu da $G$'nin $p^2$ tane eşlenik sınıfı olduğunu söyler.O halde $G$ değişmelidir.

Comments

"Şunu rahatlıkla yazabiliriz;"

Rahatlıkla? :)

---

İlk cümledeki "biraz" kelimesi ile en azından sonlu grupların temsilini bildiğimizi kastetmiş olabilirim.Bu sonuca da düzenli(regular) temsilin ayrıştırılması ile varabiliriz.

$L\sim  d_{1}\varphi^{(1)}\oplus.....\oplus d_{s}\varphi^{(s)}$ olduğu için bu temsillerin karakterleri aynı olmalıdır(tabi bunu da göstermemiz gerekebilir ama böyle devam edersek teorinin en başına kadar gidebiliriz).Elimizde şu var ;

$\chi_{L}=d_{1}\chi_{1}+.....+d_{s}\chi_{s}$ 

O halde  $\chi_{L}$'ye $1_{G}$'de bakarsak sonuca ulaşırız.

$|G|=p^2=d_{1}^2+...+d_{s}^2$

---

Ben nereden geldiğini biliyorum da, bariz şekilde geldiğini düşünmüyorum.

---

Haklısınız sanırım,çok kullanıldığı için yazarken böyle düşünmüş olabilirim.