$22$ milyon basamaktan fazla olan bir asal sayi bulundu. Peki $22$ milyondan buyuk bir asal sayi bulabilir misiniz? Bu bile aslinda zor bir soru ki, bulunan bu sayi bilgisayar yardimi olmadan zor bulunur.
Bilgisayar yardimi disinda dikkat cekici olan bu sayinin $2^{74,207,281}-1$ olmasi.
Soru 1: Bu $74,207,281$ sayisi asal mi peki? Bence asal olmali. Peki neden?
Ilk olarak sunlari gosterelim:
1) $a,n>0$ tam sayilari icin $a^n-1$ sayisi $a-1$ sayisina tam bolunur.
2) $a>2$ ve $n>1$ ise $a^n-1$ asal olamaz.
3) Eger $n>1$ ve $a^n-1$ asal sayi ise $a=2$ olmali, yani asal sayimiz $2^n-1$ olmali.
Peki $n$ asal olmak zorunda mi?
1) $n$ asal degilse $n$ sayisinin $1$'den buyuk, $n$'den kucuk bir tam boleni olmali. (ki asal olmasin degil mi?)
2) Bu bolene $d$ diyelim. Bu durumda $a^n-1$ sayisi $a^d-1$ sayisina tam bolunur.
3) Demek ki $a^n-1$ sayisi asal ise $n>1$ asal ve $a=2$ olmali.
Artik sunu gosterdik $n$ asal bir sayi olmazsa $2^n-1$ sayisi asal olamaz. Eger $2^{74,207,281}-1$ sayisi gercekten asal ise $74,207,281$ sayisi asal olmali.
Soru 2: Eger her asal $n$ sayisi icin $2^n-1$ sayisi asal olsaydi o zaman $p=2^{2^{74,207,281}-1}-1$ daha buyuk bir asal sayi ve $2^p-1$ daha da buyuk bir asal sayi olurdu. Adamlar da kalkip bulabildigimiz en buyugu bu demezdi. Demek ki en az bir adet $n$ asal sayisi var ki $2^n-1$ asal olmaz. Buna bir ornek bulunuz.
Soru 3: Bu sayinin $22$ milyondan fazla basamagi oldugunu nasil soyleyebiliyorlar?