Question

Taban yarıçapı 3cm ve yüksekliği 4 cm olan bir koninin içine yerleştirilebilen maksimum hacimli silindirin hacmi cm3tür?

Comments

$8 \pi(1-\frac 43\sqrt2)$ gibi bir cevap buldum. Oran orantıdan silindirin yüksekliği ile yarıçapı arasında bir bağlantı bulup silindirin hacmine yazdım. Denklemi max yapacak değeri $r=\sqrt2$ olarak buldum.

Answer 1

Koni içine üstü yan yüzlere teğet,tabanı koni tabanı ile taban merkezleri çakışacak şekilde bir silindir yerleştirelim. Koninin taban merkezi ile silindirin taban merkezi $O$, silindirin üst taban merkezi $O'$ olursa, silindirin yüksekliği $h=|OO'|$ olacaktır. Eğer koninin taban çapı $|AB|$ ise koninin yüksekliği $O,O'$ noktalarından geçecek ve $[OO']\bot [AB]$ olacaktır. Silindirin taban yarı çapı $r$ olsun.

Üçgen benzerliğinden; $\frac{r}{3}=\frac {4-h}{4}\Rightarrow  h=\frac{12-4r}{3}$ olur. Öte yandan silindirin hacmi :$V=\pi.r^2.h=\pi.r^2.(\frac{12-4r}{3})=\frac{\pi(12.r^2-4r^3)}{3}$ Buradan türev alıp sıfırlayarak :$\frac{\pi(24.r-12r^2)}{3}=0\Rightarrow r=0,r=2$ olur. $h=\frac 43$ olur. Ve maksimum silindir hacmide $V=\frac{16\pi}{3}$ birim küp olacaktır.