$\sum_{n=1}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}\frac{n^{p}}{5n^{5}-2n}$ serisi $
p\geq 5$ için ıraksak ve $p<5$ ise yakınsaktır.
Raabe testi pozitif terimli seriler için uygulanan bir testtir. Bu seri ise işaret değişimli bir seridir.
Dolayısıyla Raabe testi ancak bu serinin mutlak yakınsak olup olmadığını anlamak için kullanılabilir.
Bu durumda bile bu seriye neden Raabe testi uygulamak gerekiyor anlamadım. Aslında cevap neredeyse aşikar.
$p\geq 5$ ise $\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert \left( -1\right) ^{n}\frac{n^{p}}{5n^{5}-2n}\right\vert \geq \frac{1}{5}$ olduğundan seri ıraksaktır.
$p<5$ olsun. $5n^{5}-2n\geq 3n^{5}$ olduğundan $a_{n}=\frac{n^{p}}{5n^{5}-2n}>0$ dır. Ayrıca $\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$ olur. $
p\geq 4$ ise
\[
\frac{d}{dn}\left( \frac{n^{p}}{5n^{5}-2n}\right) =-\frac{n^{p-2}}{\left(
5n^{4}-2\right) ^{2}}\left( 5\left( 5-p\right) n^{4}+2\left( p-1\right)
\right) <0\
\]
dır. O halde $p\geq 4 $ ise $\left( a_{n}\right) $ azalandır. Dolayısıyla işaret değişimli seri kıstasından dolayı seri yakınsaktır. $p<4$ ise
\[
\left\vert \left( -1\right) ^{n}\frac{n^{p}}{5n^{5}-2n}\right\vert =\frac{
n^{p}}{5n^{5}-2n}\leq \frac{n^{p}}{3n^{5}}=\frac{1}{3n^{5-p}}
\]
olup $5-p>1$ olacağından karşılaştırma testi nedeniyle seri mutlak yakınsaktır.