Isi Denklemi-Kismi Difransiyel Denklemler

Question

Isi kernelini kullanarak, asagidaki sorunun cozumunun integral gosterimini yapiniz..

$\partial_tu-\partial^2_{xx}u=0$         $(x,t)\in (0,\infty)\times  (0,\infty)$

$u(x,0)=u_0(x)$,                   $x\in (0,\infty)$

$\partial_xu(0,t)=0$,                $t>0$

Answer 1

Önce Fourier dönüşümünün olduğunu kabul edip (bu çözümü bulunca gösterilebilir) $u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{i\chi x}\hat{u}(\chi,t)d\chi$ yazalım. O halde ısı denklemi bize şunu verir:  $0=\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{i\chi x}(\partial_t-(i\chi)^2)\hat{u}(\chi,t)d\chi$

Ama aynı zamanda $\hat{u}$ için de: $\partial_t\hat{u}+\chi^2\hat{u}=$. Yani $\hat{u}(\chi,t)=e^{-\chi^2 t}\hat{u}(0,\chi)=e^{-\chi^2 t}\hat{u_0}(\chi)$. $u$'nun integral gösterimi o zaman

$u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{i\chi x}e^{-\chi^2 t}\hat{u_0}(\chi)d\chi=\displaystyle\int \frac{1}{2\pi} \int e^{i\chi (x-y)}e^{-\chi^2 t}{u_0}(y)dyd\chi=$(tanım alanları Fubini teoremi için uygun (üçüncü denklem))$=\displaystyle\int\left( \frac{1}{2\pi}\int e^{i\chi (x-y)}e^{-\chi^2 t}d\chi\right){u_0}(y)dy=:\int  I(x-y,t)u_0(y)dy$ (*), $I$'ya ısı çekirdeği diyoruz.

$I(x,t)= \frac{1}{2\pi}\int e^{i\chi (x)}e^{-\chi^2 t}d\chi=$(üssü kareye tamamlayalım ve karmaşık naliz bilgimizi kullanarak integrali hesaplayalım...) $I(x,t)= \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-x^2/t}$(bir yerde sabit hatası var sanki). Bunu (*)'da kullanırsak $u$'nun integral gösterimini buluruz.