L operatöründen bahsediyoruz sanırım. L operatörü bir türev operatörüdür ve lineerdir.
n-inci dereceden sabit katsayılı bir lineer diferansiyel operatörünü
$L=a_nD^n+a_{n-1}D^{n-1}+ \ldots +a_1D+a_0 \ ..............(1)$
olarak tanımlarız. $L_1$ ve $L_2$ böyle iki operatörse bunların çarpımı tanımlı olup
$L_1L_2[x]=L_1[L_2x] \ ..............(2)$
şeklindedir. eğer $L_1=D+a$ ve $L_2=D+b$ ise
$L_1L_2[x]=(D+a)(D+b)x=[D^2+(a+b)D+ab]x$
olup, polinomların çarpma işlemi değişmeli ve x(t)'nin türevleri mevcut olduğundan
$L_1L_2[x]=L_2[L_1x] \ ..............(3)$
yazılabilir. şimdi herhangi bir sabit katsayılı lineer diferansiyel denklem sistemini ele alalım. sistem şöyle olsun:
$L_1x+L_2y=f_1(t) \\ L_3x+L_4y=f_2(t) \ ..............(4)$
burada $L_1, L_2, L_3$ ve $L_4$, (1) deki gibi lineer diferansiyel operatörlerdir. bu operatörlerin mertebeleri farklı da olabilir. $f_1(t)$ ve $f_2(t)$ de fonksiyonlardır.
şimdi (4) sisteminde x değişkenini yok etmek amacıyla ilk denklemi $L_3$ ile ve ikinci denklemi $L_1$ ile çarparız. böylece taraf tarafa topladıktan sonra
$(L_1L_4-L_2L_3)y=L_1f_2(t)-L_3f_1(t) \ ..............(5)$
denklemine ulaşırız. y=y(t)'yi çözdükten sonra bunu (4)'te yerine yazarak x=x(t)'yi buluruz.
veya (4) teki orijinal sistemden y'yi aynı şekilde yok edebilirdik. o zaman
$(L_1L_4-L_2L_3)y=L_4f_1(t)-L_2f_2(t) \ ..............(6)$
denklemini bulurduk. buradan önce x=x(t)'yi, sonra y=y(t)'yi çözerdik.
bu (5) ve (6) daki, sol tarafta yer alan $L_1L_4-L_2L_3$ ifadesi, aslında
$\begin{vmatrix}L_1 & L_2\\ L_3 & L_4\end{vmatrix}$
operatörünün işlemsel determinantıdır.
bu şekilde verilen sistemi önce D operatörüne dönüştürüp ardından özel çözümde belirsiz katsayılı ifadeler buluruz. bulduğumuz ifadeler 2'den fazla olduğu için bu ifadeler arasında birini diğerinde yerine koyma yöntemini kullanır ve oradan özel çözümdeki belirsiz katsayıları olması gerektiği gibi 2'ye indiririz.
--------------------------------------------------------------------
Örnek: $x'=4x-3y$, $y'=6x-7y$ sistemi için özel çözüm bulunuz.
Çözüm: Şimdi burada, yukarıda $L_1=D+a$ ve $L_2=D+b$ yaptığımız gibi verilen ifadeyi L operatörü ile yani D sembolüyle yazacağız. bunun için $x'$ ve $y'$ yerine D operatörünü, a yerine ilk denklemdeki x'in katsayısını, b yerine de ikinci denklemdeki y'nin katsayısını aldığımızda
$L_1=D-4 \\ L_2=3 \\ L_3=-6 \\ L_4=D-7$
olur. verilen sistemi bunlarla tekrar yazarsak
$x'=4x-3y \Rightarrow x'-4x+3y=0 \Rightarrow (D-4)x+3y=0$
ve
$y'=6x-7y \Rightarrow y'-6x+7y=0 \Rightarrow -6x+(D+7)y=0$
olur. yani denklem sistemimiz
$(D-4)x+3y=0 \\ -6x+(D+7)y=0$
şeklindedir. şimdi işlemsel determinantı hesaplarsak
$\begin{vmatrix}D-4 & 3 \\ -6 & D+7\end{vmatrix}=\\ \\ (D-4)(D+7)-3.(-6)=D^2+3D-10 \ ..............(7)$
bulunur. buradan yukarıda verdiğim (6) ve (5) denklemlerini sırasıyla $x''+3x'-10x=0$ ve $y''+3y'-10y=0$ bulurum.
bunların karakteristik denklemlerini çözmek zor değildir. bunların genel çözümleri $x(t)=a_1e^{2k}+a_2e^{-5k}$ ve $y(t)=b_1e^{2k}+b_2e^{-5k}$ olarak yazılır.
başta demiştim; burada 4 tane belirsiz kaysayı yani 4 tane keyfi değişken var. fakat lineer sistemler için varlık ve tekliği ortaya koyan teorem sebebiyle, 2 tane birinci mertebeden oluşan denklem sisteminin genel çözümü 2 tane keyfi değer içerebileceği için, bu son bulduğum ifadeleri, sorudaki orijinal denklemlerden birinde yerine yazarız. yani
$0=x'-4x+3y \Rightarrow$
$0=(2a_1e^{2k}-5a_2e^{-5k})-4(a_1e^{2k}+a_2e^{-5k})+3(b_1e^{2k}+b_2e^{-5k})$
$0=(-2a_1+3b_1)e^{2k}+(-9a_2+3b_2)e^{-5k}$
burada $e^{2k}$ ve $e^{-5k}$ lineer bağımsız fonksiyonlardır. o zaman
$-2a_1+3b_1=0 \Rightarrow a_1=\dfrac{3}{2}b_1$
ve
$-9a_2+3b_2=0 \Rightarrow a_2=\dfrac{1}{3}b_2$
olur ve böylece istenen genel çözüm
$x(t)=\dfrac{3}{2}b_1e^{2k}+\dfrac{1}{3}b_2e^{-5k} \\ y(t)=b_1e^{2k}+b_2e^{-5k}$
şeklindedir.
----------------------------------------------------------------------------------------
kaynaklar:
-------------------
* edwards & penney'in diferansiyel denklemler kitabı
* kişisel ders notlarım.