$\displaystyle\limsup_{n\to +\infty }\frac{\left(-1\right)^nn}{3n+1}$

Question

$$\lim _{x\to \infty }sup\frac{\left(-1\right)^xx}{3x+1}$$

Comments

$$\limsup_{n\to\infty}\frac{ (-1)^nn}{ 3n+1}$$ mi?$ x$ yazinca reel degişken anlaşılır, saniyorum burada $ x$ dogal sayi kastediliyor, çünki çoğu reel $ x$ için $(-1)^x$ tanimsız olur.

---

sebep olarak: $(-1)^x=e^{i\pi x}$'dir. yani birim cemberin icine duser ve sanal parca almayacagi tek yer tam sayilardir. O nedenle Dogan hocamin dedigi sekilde cozdum.

Answer 1

$A_n=\sup\{a_k \: | \: k \geq n\}$ olsun. Simdi $\frac{n}{3n+1}$'in azaldigi bariz. O halde $A_n=\frac{n}{3n+1}$ eger $n$ cift sayi ise ve  $A_n=\frac{n+1}{3(n+1)+1}$ eger $n$ tek sayi ise. (cunku $(-1)^n$ tek sayilar icin negatif.)

Simdi soru su: $\lim_{n\rightarrow \infty}A_n$?

$n$ tek olsa da, cift olsa da limit $1/3$'e gidiyor. O zaman limit $1/3$ mu? Evet! Bunun sebebi de onemli.