Uzunluğu bilinmeyen bir doğru parçası çizmek mümkün müdür?

Question

Bir doğru parçası çizerken uzunluk belirtmemiz şart mıdır? Eğer şart değilse başlangıç noktasını bildiğimiz doğru parçasının bitiş noktası hakkında ne söyleyebiliriz?

Comments

Soruyu anlayamadim, tabi ki bir dogru parcasini duzleme cizip uzunlugunu yahut baslangic bitis noktalarini belirtmeyebilirsiniz. Konuyu biraz daha acar misiniz?

---

Hocam sorum noktanın belirtilip belirtilmemesi üzerine değil. Başlangıç ve bitiş noktası olan ( düzlem üzerinde noktasal olarak belirtilsede belirtilmesede )  her doğrunun cebirsel olarak bulunamasada bir uzunluğu var. Uzunluğu belirsiz bir doğru parçası çizmek mümkün mü onu merak ediyorum.

Yani buradaki h uzunluğu sürekli bulunubilir durumda olmaz mı?

Answer 1

Hüseyin Demir Hocamızın "Hilbert'in Aksiyomlarıyla Euclid Geometrisi" adlı kitabından, uzunluğun tanımı ve sayı ekseninin inşaası ile ilgili kısmı paylaşayım.

Ayrıca yapılan yorumlar  matematiksel temllere dayandırılmadan ve sezgisel boyutta yapılırsa, dışardan takip eden arkadaşlar açısından kafa karıştırıcı olabilir. 

Comments

Temel Hocam, soru icin vermis oldugunuz cevabi gordum. HUseyin Demir HOcanin 1987 Hİlbert Aksiyomlariyla EUclid GEometrisi kitabina ulasamiyorum. Siz de pdf olarak mevcutsa iletisim kurabilir miyiz, alabilmem mumkun mudur? Cok tesekkur ederim.

Answer 2

Ek açıklamalarınızı dikkate alarak cevap veriyorum. Evet düzlemde başlangıç ve bitiş noktaları verilmiş her doğru parçasının uzunluğunu hesaplayabiliriz. Fakat tahmin ediyorum ki bunu siz de biliyorsunuzdur, $(x_0, y_0)$ ve $(x_1, y_1)$ noktalari arasındaki doğru parçasının uzunluğu $$\sqrt{ (x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$$

olur. Sanırım kastınız bu değil.

Comments

 $(x_0, y_0)$ ve $(x_1, y_1)$ noktalari arasındaki doğru parçasının uzunluğu

$$\sqrt{ (x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$$ olduğunu biliyoruz. Kök içini belirsiz yapan bir durum var mı onu merak ediyorum. Yani kök içinde negatif bir sayı çıkabilir mi? Yada $(x_1-x_0)$ 'in sonsuz olduğu durum var mıdır? Yani sonsuz uzunluklu bir doğru parçası olabilir mi?

---

Sizin sordugunuz baglamda yani kartezyen duzlemde bahsettiginiz gibi bir durum olmaz cunku noktalarin koordinatlari reel sayilardir ve dolayisiyla farklari da bir reel sayidir.

Answer 3

İki noktadan yalnız bir doğru gecer. Bundan dolayı da o doğru yalnız bir tanedir. Uzunluk doğruyu ifade etmeye yarayan belli özelliklerden birisidir. Sadece uzunluğu ve başlangıç noktasını verirseniz; cembersel düşünerek, sonsuz doğru cizebilecegimizi görürsünüz. Fakat uc noktalari verilen dogru parçasının, doğrultusunu ve uzunluğunu bildigimiz için bu doğru parçasını tek şekilde çizeriz. Yalniz sizin verdiğiniz noktalar:"A (x, y)" düzlemde herhangi bir noktayı temsil ediyor. Bunlari tanimlamadan dogruyu cizemezsiniz. Eğer noktalari şekildeki gibi cizdiyseniz zaten düzlemde yerleri bellidir. Artık noktalarin koordinatlarini belirlemeniz gerekir. Ayrıca çizdiğiniz doğru parçası genel bir gösterimde olabilir ve düzlemdeki herhangi bir doğru parçasını temsil ederbilir.

Comments

"Fakat uc noktalari verilen dogru parçasının doğrultusunu ve uzunluğunu bildigimiz için bu doğru parçasını tek şekilde çizeriz. "

Temel hocam sorum şöyle uç noktaları verilen herhangi bir doğru parçasının doğrultusunun veya uzunluğunun belirsiz olduğu bir durum var mıdır peki?

---

Sayın Hocam, eğer uç noktalarını biliyorsanız o doğru parçası yalnız bir tanedir ve bellidir.

Hatta o doğrunun belli olması için uç noktalarının doğruya dahil olması bile gerekmez.

Bu tür doğru parçalarına da açık uçlu doğru parçaları denir.

Kafanızı karıştıran durumu sanırım pek anlayamıyoruz.

Nokta,doğru,düzlem ya da uzay kavramlarının tanımsızlığıyla ilişkili bir durum mu?

---

Peki hocam uç noktaların doğruya dahil olmadığı zaman doğrunun uzunluğu neden bir sayıyla ifade ediyoruz yada nasıl ifade edebiliyoruz? Yani 3 cmlik açık uçlu bir doğru parçasının uzunluğunun 3 cmden daha az olması gerekmez mi?

---

Gerekmez hocam,çünkü noktanın kapladığı bir yer yoktur. Bu kavramları soyut düşünüp, somut olarak yorumluyorsunuz.Onun için kafanız karışıyor. "Doğru" dediğimiz şeyde yok, bunlar tamamen soyut kavramlar. Yani zihnimizdeler. O yaptığımız çizimler bunların somut modelleri.Somut dünyada cisimlerin kapladığı bir yer var ve cisimlerin sürekliliği var. Onun için somut manada uzunluğun ne olduğunu sanırım anlıyorsunuz. Başlangıç ve bitiş noktası bilinen bir doğru parçasının uzunluğu bellidir.(Euclid Geometrisini kastederek konuşuyorum.)

Answer 4

Reel sayıları [0,1] aralığına eşleyebiliriz. Bu durumda bir doğru belirtir ancak uzunluğu belirsizdir.

Comments

Sayı doğrusu üzerindeki [0,1] aralığından bahsediyorsanız, uzunluğu belirsiz olmaz. Neden olsun?

---

Belirsiz olan reel sayıların uzunluğu. Yani bir doğru belirtmesine rağmen uzunluğu belirsiz.

---

Reel sayıların uzunluğu demek ne demek? Açıklar mısınız? Tüm reel sayılardan mı bahsediyorsunuz? Reel sayıları [0,1] aralığına birebir eşlediğinizde ben onun uzunluğuna 1 br diyebilirim. Sonsuz sayıda Reel Sayı olması uzunluğunun olmayacağı manasına gelmez. Uzunluğu bulurken aradaki sayıları saymıyoruz. Kurduğumuz geometrinin aksiyomatik kurallarını temel alarak iki nokta arasındaki mesafeyi tanımlıyoruz. Mesela kök2 yi sayı doğrusu üzerinde gösteremezsininz ama kök2 uzunluğunu gösterebilirsiniz.

---

[0,1]'e eşlendiği için uzunluk belirtir ancak uzunluğunu bilemeyiz anlamında söyledim. öyle düşündüm yani. mesela bir lastik düşünelim. uzunluğu değişkendir. bunun gibi birşey. [0,1] benim cevabım değil, sadece denklik kavramı üzerinden böyle bir şey düşündüm.