Kümeler

Question

$J$ herhangi bir küme olsun.

$$\left(\prod_{\alpha\in J} A_{\alpha}\right) \cap \left(\prod_{\alpha\in J} B_{\alpha}\right) =\prod_{\alpha\in J} (A_{\alpha} \cap B_{\alpha})$$ olduğunu nasıl gösterebiliriz?

Answer 1

$x=(x_j)_{j\in J}$ olsun.

$$x\in\left(\prod_{\alpha\in J}A_{\alpha}\right)\bigcap \left(\prod_{\alpha\in J}B_{\alpha}\right)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$ x\in\left(\prod_{\alpha\in J}A_{\alpha}\right)\wedge x\in \left(\prod_{\alpha\in J}B_{\alpha}\right) $$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall \alpha\in J)(x_{\alpha}\in A_{\alpha})\wedge (\forall \alpha\in J)(x_{\alpha}\in B_{\alpha})$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall \alpha\in J)(x_{\alpha}\in A_{\alpha}\wedge x_{\alpha}\in B_{\alpha})$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall \alpha\in J)(x_{\alpha}\in A_{\alpha}\cap B_{\alpha})$$

$$\Leftrightarrow$$

$$x\in\prod_{\alpha\in J}\left(A_{\alpha}\cap B_{\alpha}\right).$$

İspatta aşağıdaki denkliği kullandığımıza dikkat et.

Not: $p(x)$ ve $q(x)$, konu evreni $E$ olan iki açık önerme olmak üzere

$$(\forall x\in E)(p(x)\wedge q(x))\Leftrightarrow [(\forall x\in E) p(x)\wedge (\forall x\in E)q(x)] $$

Answer 2

Yontem:

Solun sagin icinde oldugunu gostermek icin: bir adet $x$ al: her $j \in J$ icin $x_j \in A_j$ ve $x_j \in B_j$ olmali. Yani kesisiminde olmali. 

Sagin solun icinde oldugunu gostermek icin: bir adet $x$ al: her $j \in J$ icin $x_j \in A_j \cap B_j$ olmali... diye devam et.